Exercicis d'EDO de primer ordre

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = - x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = - \frac{x^{2}}{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 3$.

$y(x) = 3 e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $- x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 2\frac{1}{y} = 2$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 2v = 2$, és a dir

$v' - 2v = -2.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-2x}$, i surt $v = 1 + Ke^{2x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = 0$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = 1$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $e^{y}-1 = 0$.

Resolent, l'exponencial val $1$ només quan l'exponent és zero.

Per tant la resposta és només 0.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' - 3y = y^{1/2}$ és Bernoulli perquè hi ha una potència de $y$ que no és $0$ ni $1$.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -2y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -2\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-2x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 5$.

$y(x) = 5 e^{- 2 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -2\cdot 5e^{-2x} = -2y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 2$, el factor és $\mu = e^{2x}$. Es tria justament perquè $\mu' = 2\mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{2x}y)' = 2e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}y = e^{2x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{2x}$:

$y = 1 + Ce^{-2x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $1 + C = 0$, o sigui $C = -1$.

$y(x) = 1 - e^{- 2 x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $1$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^{3}}{3} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{\frac{x^{3}}{3}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 1$.

$y(x) = e^{\frac{x^{3}}{3}}$

Compte: aquí l'exponent no és $x^{2}$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 2\frac{1}{y} = 2$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 2v = 2$, és a dir

$v' - 2v = -2.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-2x}$, i surt $v = 1 + Ke^{2x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = \frac{1}{2}$, o sigui $K = - \frac{1}{2}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{1 - \frac{e^{2 x}}{2}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $y(y^{2}-9) = 0$.

Resolent, és $y(y-3)(y+3)$.

Per tant la resposta és 0, 3 i −3.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $2x\,dx + 2y\,dy = 0$ és Exacta perquè les derivades creuades coincideixen i hi ha potencial $x^2+y^2$.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.