Exercicis d'EDO de primer ordre

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -2y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -2\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-2x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 1$.

$y(x) = e^{- 2 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -2\cdot e^{-2x} = -2y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 4e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 4e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 4 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $4 + C = 5$, o sigui $C = 1$.

$y(x) = 4 + e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $4$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = 2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = x^{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{x^{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 3$.

$y(x) = 3 e^{x^{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $2 x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} = 3$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + v = 3$, és a dir

$v' - v = -3.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-x}$, i surt $v = 3 + Ke^{x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = \frac{1}{2}$, o sigui $K = - \frac{5}{2}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{3 - \frac{5 e^{x}}{2}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $y(1-y)(2-y) = 0$.

Resolent, els tres factors donen tres equilibris.

Per tant la resposta és 0, 1 i 2.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $x y' + 2y = \ln x$ és Lineal perquè dividint per $x$ queda de la forma $y' + p(x)y = q(x)$.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -2y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -2\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-2x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 2$.

$y(x) = 2 e^{- 2 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -2\cdot 2e^{-2x} = -2y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 6e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 6e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 6 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $6 + C = 0$, o sigui $C = -6$.

$y(x) = 6 - 6 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $6$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = - x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = - \frac{x^{2}}{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 1$.

$y(x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $- x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 2\frac{1}{y} = 1$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 2v = 1$, és a dir

$v' - 2v = -1.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-2x}$, i surt $v = \frac{1}{2} + Ke^{2x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = \frac{1}{2}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.