Exercicis d'EDO de primer ordre

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $(y-1)(y+2) = 0$.

Resolent, s'anul·la a $y=1$ i a $y=-2$.

Per tant la resposta és 1 i −2.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' + x y = x^{3}$ és Lineal perquè la $y$ hi apareix elevada només a la primera potència i sense funcions aplicades.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 3$.

$y(x) = 3 e^{- 3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -3\cdot 3e^{-3x} = -3y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 2e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 2e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 2 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $2 + C = 5$, o sigui $C = 3$.

$y(x) = 2 + 3 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $2$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^{2}}{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 3$.

$y(x) = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} = 2$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + v = 2$, és a dir

$v' - v = -2.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-x}$, i surt $v = 2 + Ke^{x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = -1$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{2 - e^{x}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $y^{2}(y-4) = 0$.

Resolent, el factor $y^2$ dona l'equilibri $y=0$ (doble, però un de sol) i $y=4$.

Per tant la resposta és 0 i 4.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' + y = y^{3}$ és Bernoulli perquè és lineal excepte pel terme amb una potència de $y$ al segon membre.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 4$.

$y(x) = 4 e^{- 3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -3\cdot 4e^{-3x} = -3y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 4e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 4e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 4 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $4 + C = 0$, o sigui $C = -4$.

$y(x) = 4 - 4 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $4$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.