Simulacre d'examen de distribucions habituals

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($50$) no és molt més gran que la mostra ($5$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 0) = \frac{\binom{8}{0}\binom{42}{5}}{\binom{50}{5}} = \frac{1\cdot850668}{2118760} \approx 0.4015$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 8/50 = \frac{4}{25}$, una binomial donaria $0.4182$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($50$) no és molt més gran que la mostra ($5$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 2) = \frac{\binom{8}{2}\binom{42}{3}}{\binom{50}{5}} = \frac{28\cdot11480}{2118760} \approx 0.1517$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 8/50 = \frac{4}{25}$, una binomial donaria $0.1517$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($20$) no és molt més gran que la mostra ($4$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 1) = \frac{\binom{6}{1}\binom{14}{3}}{\binom{20}{4}} = \frac{6\cdot364}{4845} \approx 0.4508$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 6/20 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.4116$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($30$) no és molt més gran que la mostra ($5$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 0) = \frac{\binom{10}{0}\binom{20}{5}}{\binom{30}{5}} = \frac{1\cdot15504}{142506} \approx 0.1088$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 10/30 = \frac{1}{3}$, una binomial donaria $0.1317$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($40$) no és molt més gran que la mostra ($6$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 0) = \frac{\binom{12}{0}\binom{28}{6}}{\binom{40}{6}} = \frac{1\cdot376740}{3838380} \approx 0.0982$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 12/40 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.1176$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($40$) no és molt més gran que la mostra ($6$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 2) = \frac{\binom{12}{2}\binom{28}{4}}{\binom{40}{6}} = \frac{66\cdot20475}{3838380} \approx 0.3521$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 12/40 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.3241$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($25$) no és molt més gran que la mostra ($4$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 1) = \frac{\binom{5}{1}\binom{20}{3}}{\binom{25}{4}} = \frac{5\cdot1140}{12650} \approx 0.4506$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 5/25 = \frac{1}{5}$, una binomial donaria $0.4096$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($60$) no és molt més gran que la mostra ($5$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 0) = \frac{\binom{15}{0}\binom{45}{5}}{\binom{60}{5}} = \frac{1\cdot1221759}{5461512} \approx 0.2237$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 15/60 = \frac{1}{4}$, una binomial donaria $0.2373$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 1) = \binom{5}{1}\,\frac{1}{2}^{1}\,\frac{1}{2}^{4}$

El combinatori $5$ compta de quantes maneres es poden repartir els $1$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.1562$

De referència, l'esperança és $np = \frac{5}{2}$: si $1$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 2) = \binom{8}{2}\,\frac{1}{2}^{2}\,\frac{1}{2}^{6}$

El combinatori $28$ compta de quantes maneres es poden repartir els $2$ èxits entre els $8$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.1094$

De referència, l'esperança és $np = 4$: si $2$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{25 - 10}{15} = 1$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $1$ és aproximadament $0.1587$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{102 - 100}{1} = 2$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $2$ és aproximadament $0.0228$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.