Hi ha 7 rutes fins a la plaça i 9 rutes des de la plaça. Quants camins diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 7 primeres opcions hi ha 9 segones.
Com es fa
7⋅9=63. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 2
D'entre 9 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 4? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 9 per els 3 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 3024 maneres: 9⋅8⋅7⋅6. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Exercici 3
Quants grups de 2 persones es poden triar entre 4, sense càrrecs diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Compta primer les maneres de triar-les i ordenar-les.
Pista 2.
Com que l'ordre no importa, cada grup s'ha comptat 2!=2 vegades: divideix-hi.
Com es fa
Triant i ordenant serien 12 maneres, i cada grup s'ha comptat 2!=2 vegades, de manera que el resultat és 12:2=6. Entendre la divisió pels ordres repetits és més útil que memoritzar la fórmula.
Compte amb això.
Dividir per 2 automàticament: el divisor és 2!, no sempre dos.
Exercici 4
De quantes maneres es poden ordenar 7 objectes diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el nombre de permutacions, és a dir el factorial.
Pista 2.
Calcula 7!=7⋅6⋯1.
Com es fa
7!=5040. La primera posició té totes les opcions, la segona una menys, i així fins a la darrera, que només en té una.
Compte amb això.
Multiplicar el nombre d'objectes per ell mateix en comptes de fer el factorial.
Exercici 5
Hi ha 10 tipus de pa i 2 tipus d'ingredient. Quants entrepans diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 10 primeres opcions hi ha 2 segones.
Com es fa
10⋅2=20. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 6
D'entre 16 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 3? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 16 per els 2 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 3360 maneres: 16⋅15⋅14. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Exercici 7
Quants grups de 3 persones es poden triar entre 9, sense càrrecs diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Compta primer les maneres de triar-les i ordenar-les.
Pista 2.
Com que l'ordre no importa, cada grup s'ha comptat 3!=6 vegades: divideix-hi.
Com es fa
Triant i ordenant serien 504 maneres, i cada grup s'ha comptat 3!=6 vegades, de manera que el resultat és 504:6=84. Entendre la divisió pels ordres repetits és més útil que memoritzar la fórmula.
Compte amb això.
Dividir per 2 automàticament: el divisor és 3!, no sempre dos.
Exercici 8
De quantes maneres es poden ordenar 8 objectes diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el nombre de permutacions, és a dir el factorial.
Pista 2.
Calcula 8!=8⋅7⋯1.
Com es fa
8!=40320. La primera posició té totes les opcions, la segona una menys, i així fins a la darrera, que només en té una.
Compte amb això.
Multiplicar el nombre d'objectes per ell mateix en comptes de fer el factorial.
Exercici 9
Hi ha 4 tipus de pa i 11 tipus d'ingredient. Quants entrepans diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 4 primeres opcions hi ha 11 segones.
Com es fa
4⋅11=44. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 10
D'entre 16 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 2? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 16 per els 1 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 240 maneres: 16⋅15. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.