Exercicis de geometria afí i formes quadràtiques

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 9 \cdot 4 - \left(6\right)^{2} = 0$

Pas 3 — classificar. Com que val zero, un autovalor s'anul·la: és una paràbola o un cas degenerat (dues rectes, una recta o el conjunt buit), segons els termes lineals.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $12$ fora de la diagonal en comptes de $6$, el determinant hauria sortit $-108$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 2x = \left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot1} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 3 \cdot 3 - \left(0\right)^{2} = 9$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $0$ fora de la diagonal en comptes de $0$, el determinant hauria sortit $9$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 2x = \left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot1} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 1 \cdot 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{3}{4}$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $1$ fora de la diagonal en comptes de $\frac{1}{2}$, el determinant hauria sortit $0$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 2x = \left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot1} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 6 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 6 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 6 \cdot 6 - \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{119}{4}$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $5$ fora de la diagonal en comptes de $\frac{5}{2}$, el determinant hauria sortit $11$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 6x = \left(x + 3\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot1} = -3$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 4 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 4 \cdot 1 - \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = - \frac{9}{4}$

Pas 3 — classificar. Com que és negatiu, els autovalors tenen signes oposats: és una hipèrbola.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $5$ fora de la diagonal en comptes de $\frac{5}{2}$, el determinant hauria sortit $-21$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 6x = \left(x + 3\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot1} = -3$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.