Exercicis de geometria afí i formes quadràtiques

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 3 \cdot 3 - \left(2\right)^{2} = 5$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $4$ fora de la diagonal en comptes de $2$, el determinant hauria sortit $-7$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 2x = \left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot1} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 1 \cdot 1 - \left(2\right)^{2} = -3$

Pas 3 — classificar. Com que és negatiu, els autovalors tenen signes oposats: és una hipèrbola.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $4$ fora de la diagonal en comptes de $2$, el determinant hauria sortit $-15$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 6x = \left(x + 3\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot1} = -3$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 4 \cdot 9 - \left(0\right)^{2} = 36$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $0$ fora de la diagonal en comptes de $0$, el determinant hauria sortit $36$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 6x = \left(x + 3\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot1} = -3$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 1 \cdot 4 - \left(0\right)^{2} = 4$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $0$ fora de la diagonal en comptes de $0$, el determinant hauria sortit $4$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 6x = \left(x + 3\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot1} = -3$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 2 & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 2 \cdot 2 - \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{7}{4}$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $3$ fora de la diagonal en comptes de $\frac{3}{2}$, el determinant hauria sortit $-5$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} - 8x = \left(x - 4\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot1} = 4$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.