Exercicis de geometria afí i formes quadràtiques

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 5 \cdot 5 - \left(4\right)^{2} = 9$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $8$ fora de la diagonal en comptes de $4$, el determinant hauria sortit $-39$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} - 8x = \left(x - 4\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot1} = 4$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 1 \cdot 1 - \left(-1\right)^{2} = 0$

Pas 3 — classificar. Com que val zero, un autovalor s'anul·la: és una paràbola o un cas degenerat (dues rectes, una recta o el conjunt buit), segons els termes lineals.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $-2$ fora de la diagonal en comptes de $-1$, el determinant hauria sortit $-3$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} - 8x = \left(x - 4\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot1} = 4$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 7 \cdot (-2) - \left(0\right)^{2} = -14$

Pas 3 — classificar. Com que és negatiu, els autovalors tenen signes oposats: és una hipèrbola.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $0$ fora de la diagonal en comptes de $0$, el determinant hauria sortit $-14$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} - 4x = \left(x - 2\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-4)}{2\cdot1} = 2$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 1 \cdot 1 - \left(3\right)^{2} = -8$

Pas 3 — classificar. Com que és negatiu, els autovalors tenen signes oposats: és una hipèrbola.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $6$ fora de la diagonal en comptes de $3$, el determinant hauria sortit $-35$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} - 4x = \left(x - 2\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-4)}{2\cdot1} = 2$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 2 \cdot (-5) - \left(0\right)^{2} = -10$

Pas 3 — classificar. Com que és negatiu, els autovalors tenen signes oposats: és una hipèrbola.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $0$ fora de la diagonal en comptes de $0$, el determinant hauria sortit $-10$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} - 4x = \left(x - 2\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-4)}{2\cdot1} = 2$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.