Simulacre d'examen d'espais de probabilitat i condicionament

Pas 1 — els dos camins. Una peça defectuosa pot venir de la A o de la B:

$\mathbb{P}(A\cap D) = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{50} = \frac{3}{250}, \qquad \mathbb{P}(B\cap D) = \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{20} = \frac{1}{50}$

Pas 2 — probabilitat total. Sumant els dos camins, que són disjunts:

$\mathbb{P}(D) = \frac{4}{125} \approx 0.0320$

Pas 3 — Bayes. La pregunta inverteix el condicionament:

$\mathbb{P}(B\mid D) = \frac{\mathbb{P}(B\cap D)}{\mathbb{P}(D)} = \frac{\frac{1}{50}}{\frac{4}{125}} \approx 0.6250$

Compte amb la confusió típica. La probabilitat de defecte donada la màquina B és $\frac{1}{20}$; la de màquina B donat el defecte és $0.6250$. Són dos números diferents i intercanviar-los és l'error més car de tot el tema.

Pas 1 — la regla del producte encadenada.

$\mathbb{P}(V_1\cap V_2) = \mathbb{P}(V_1)\,\mathbb{P}(V_2\mid V_1)$

Pas 2 — els dos factors. El primer és $\frac{3}{7}$. El segon és $\frac{1}{3}$: després de treure una vermella queden $2$ vermelles de $6$ boles.

$\mathbb{P} = \frac{3}{7}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{7} \approx 0.1429$

Comprovació alternativa. Comptant conjunts, $\binom{3}{2}/\binom{7}{2} = 3/21 = \frac{1}{7}$. Coincideix.

Fixa't que les dues extraccions no són independents: si ho fossin, el segon factor tornaria a ser $\frac{3}{7}$.

Pas 1 — positius vertaders.

$\frac{1}{100}\cdot\frac{19}{20} = \frac{19}{2000}$

Pas 2 — falsos positius.

$\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{100} = \frac{99}{10000}$

Pas 3 — total de positius i Bayes.

$\mathbb{P}(M\mid +) = \frac{\frac{19}{2000}}{\frac{97}{5000}} \approx 0.4897$

Per què surt tan baix. Els sans són moltíssims més que els malalts, i per tant un percentatge petit de falsos positius entre molta gent genera més positius que la detecció correcta entre pocs malalts. Aquesta és la raó per la qual els cribratges de malalties rares es confirmen sempre amb una segona prova.

Pas 1 — els dos camins. Una peça defectuosa pot venir de la A o de la B:

$\mathbb{P}(A\cap D) = \frac{3}{5}\cdot\frac{3}{100} = \frac{9}{500}, \qquad \mathbb{P}(B\cap D) = \frac{2}{5}\cdot\frac{2}{25} = \frac{4}{125}$

Pas 2 — probabilitat total. Sumant els dos camins, que són disjunts:

$\mathbb{P}(D) = \frac{1}{20} \approx 0.0500$

Pas 3 — Bayes. La pregunta inverteix el condicionament:

$\mathbb{P}(B\mid D) = \frac{\mathbb{P}(B\cap D)}{\mathbb{P}(D)} = \frac{\frac{4}{125}}{\frac{1}{20}} \approx 0.6400$

Compte amb la confusió típica. La probabilitat de defecte donada la màquina B és $\frac{2}{25}$; la de màquina B donat el defecte és $0.6400$. Són dos números diferents i intercanviar-los és l'error més car de tot el tema.

Les dues comprovacions són diferents.

Producte de les probabilitats: $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{12}$. Intersecció donada: $\frac{1}{12}$.

Coincideixen, o sigui que són independents.

La confusió que cal desmuntar. «Incompatibles» i «independents» sonen semblants i són gairebé oposats: si dos successos de probabilitat positiva són incompatibles, saber que ha passat un et diu amb certesa que l'altre no, cosa que és la dependència més forta possible.

Pas 1 — els dos camins. Una peça defectuosa pot venir de la A o de la B:

$\mathbb{P}(A\cap D) = \frac{7}{10}\cdot\frac{3}{100} = \frac{21}{1000}, \qquad \mathbb{P}(B\cap D) = \frac{3}{10}\cdot\frac{1}{20} = \frac{3}{200}$

Pas 2 — probabilitat total. Sumant els dos camins, que són disjunts:

$\mathbb{P}(D) = \frac{9}{250} \approx 0.0360$

Pas 3 — Bayes. La pregunta inverteix el condicionament:

$\mathbb{P}(B\mid D) = \frac{\mathbb{P}(B\cap D)}{\mathbb{P}(D)} = \frac{\frac{3}{200}}{\frac{9}{250}} \approx 0.4167$

Compte amb la confusió típica. La probabilitat de defecte donada la màquina B és $\frac{1}{20}$; la de màquina B donat el defecte és $0.4167$. Són dos números diferents i intercanviar-los és l'error més car de tot el tema.

Pas 1 — positius vertaders.

$\frac{1}{50}\cdot\frac{99}{100} = \frac{99}{5000}$

Pas 2 — falsos positius.

$\frac{49}{50}\cdot\frac{1}{100} = \frac{49}{5000}$

Pas 3 — total de positius i Bayes.

$\mathbb{P}(M\mid +) = \frac{\frac{99}{5000}}{\frac{37}{1250}} \approx 0.6689$

Per què surt tan baix. Els sans són moltíssims més que els malalts, i per tant un percentatge petit de falsos positius entre molta gent genera més positius que la detecció correcta entre pocs malalts. Aquesta és la raó per la qual els cribratges de malalties rares es confirmen sempre amb una segona prova.

Pas 1 — els dos camins. Una peça defectuosa pot venir de la A o de la B:

$\mathbb{P}(A\cap D) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{100} = \frac{3}{200}, \qquad \mathbb{P}(B\cap D) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{25} = \frac{1}{25}$

Pas 2 — probabilitat total. Sumant els dos camins, que són disjunts:

$\mathbb{P}(D) = \frac{11}{200} \approx 0.0550$

Pas 3 — Bayes. La pregunta inverteix el condicionament:

$\mathbb{P}(B\mid D) = \frac{\mathbb{P}(B\cap D)}{\mathbb{P}(D)} = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{11}{200}} \approx 0.7273$

Compte amb la confusió típica. La probabilitat de defecte donada la màquina B és $\frac{2}{25}$; la de màquina B donat el defecte és $0.7273$. Són dos números diferents i intercanviar-los és l'error més car de tot el tema.

La fórmula i el seu perquè.

$\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B)$

En sumar les dues probabilitats, la zona comuna s'ha comptat dues vegades: per això se'n resta una.

Substituint.

$\frac{3}{10} + \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{9}{20} \approx 0.4500$

Comprovació de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($\frac{3}{10}$) i $1$. Si et surt per fora, hi ha un error a les dades o al càlcul. A més, fixa't que si fossin independents la intersecció hauria de valer $\frac{3}{40}$: aquí no ho són.

La fórmula i el seu perquè.

$\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B)$

En sumar les dues probabilitats, la zona comuna s'ha comptat dues vegades: per això se'n resta una.

Substituint.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{13}{20} \approx 0.6500$

Comprovació de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($\frac{1}{2}$) i $1$. Si et surt per fora, hi ha un error a les dades o al càlcul. A més, fixa't que si fossin independents la intersecció hauria de valer $\frac{1}{8}$: aquí no ho són.

La fórmula i el seu perquè.

$\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B)$

En sumar les dues probabilitats, la zona comuna s'ha comptat dues vegades: per això se'n resta una.

Substituint.

$\frac{2}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{11}{20} \approx 0.5500$

Comprovació de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($\frac{2}{5}$) i $1$. Si et surt per fora, hi ha un error a les dades o al càlcul. A més, fixa't que si fossin independents la intersecció hauria de valer $\frac{1}{10}$: aquí sí que ho són.

La fórmula i el seu perquè.

$\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B)$

En sumar les dues probabilitats, la zona comuna s'ha comptat dues vegades: per això se'n resta una.

Substituint.

$\frac{7}{10} + \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{17}{20} \approx 0.8500$

Comprovació de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($\frac{7}{10}$) i $1$. Si et surt per fora, hi ha un error a les dades o al càlcul. A més, fixa't que si fossin independents la intersecció hauria de valer $\frac{7}{40}$: aquí no ho són.