Exercicis d'aplicacions de les derivades

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 9 = 9$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x + 8$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$6 x + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = - \frac{4}{3}$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $3$, que és positiu, la paràbola obre cap amunt i l'extrem és un mínim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = 6$, positiva, o sigui mínim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 12 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = -13 = -13$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $30$, l'altre és $30 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(30 - x) = 30x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 30 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 15$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $15$ i $15$, i el producte val $225$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x - 4 \qquad f''(x) = 6 \left(2 x - 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}) = - 2 \sqrt{33}$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 11 = 11$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 8$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$6 x - 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{3}$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $3$, que és positiu, la paràbola obre cap amunt i l'extrem és un mínim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = 6$, positiva, o sigui mínim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 12 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = -16 = -16$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $36$, l'altre és $36 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(36 - x) = 36x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 36 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 18$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $18$ i $18$, i el producte val $324$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 6 x^{2} + 6 x \qquad f''(x) = 6 \left(2 x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(-1) = -6$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.