Exercicis d'aplicacions de les derivades

1 — Variables. Anomenem $x$ el costat del quadrat que retallem. En doblegar, aquest $x$ passa a ser l'alçada de la caixa.

2 — La base. A cada costat del cartró en retallem $x$ per banda, o sigui $2x$ en total: la base queda de $20 - 2x$ de costat.

3 — Volum:

$V(x) = x\,(20 - 2x)^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$V'(x) = 12 xs^{2} - 160 xs + 400 = 0$

Les solucions són $x = \frac{10}{3}$, $x = 10$. Una d'elles no serveix: si $x = 10$ la base es queda a zero i no hi ha caixa.

La bona és $x = \frac{10}{3} \approx 3.3333$ cm.

Sempre cal comprovar que la solució té sentit físic. En aquests problemes surten valors matemàticament correctes però impossibles (longituds negatives, bases de mida zero), i s'han de descartar explicant per què.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} - 12 x \qquad f''(x) = - 12 \left(x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(-2) = 12$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = -2 = -2$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} + 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 25 = 25$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Variables. Anomenem $x$ el costat del quadrat que retallem. En doblegar, aquest $x$ passa a ser l'alçada de la caixa.

2 — La base. A cada costat del cartró en retallem $x$ per banda, o sigui $2x$ en total: la base queda de $40 - 2x$ de costat.

3 — Volum:

$V(x) = x\,(40 - 2x)^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$V'(x) = 12 xs^{2} - 320 xs + 1600 = 0$

Les solucions són $x = \frac{20}{3}$, $x = 20$. Una d'elles no serveix: si $x = 20$ la base es queda a zero i no hi ha caixa.

La bona és $x = \frac{20}{3} \approx 6.6667$ cm.

Sempre cal comprovar que la solució té sentit físic. En aquests problemes surten valors matemàticament correctes però impossibles (longituds negatives, bases de mida zero), i s'han de descartar explicant per què.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} - 12 x + 2 \qquad f''(x) = - 12 \left(x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(-1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - 8 \sqrt{3}$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = -6 = -6$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} + 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = -2 = -2$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 20 \quad\Longrightarrow\quad y = 20 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 20 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5 \text{ m}$

Llavors $y = 20 - 2\cdot5 = 10$ m, i l'àrea:

$A = 5 \cdot 10 = 50 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} - 12 x - 4 \qquad f''(x) = - 12 \left(x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(-1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 4 \sqrt{3}$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.