Exercicis d'aplicacions de les derivades

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x - 3$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = -7 = -7$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x + 8$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$2 x + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -4$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $1$, que és positiu, la paràbola obre cap amunt i l'extrem és un mínim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = 2$, positiva, o sigui mínim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 6 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = -7 = -7$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

Pas 1 — anomenar les variables. Base $x$, altura $y$.

Pas 2 — la condició de l'enunciat. El perímetre és $12$:

$2x + 2y = 12 \quad\Longrightarrow\quad y = 6 - x$

Pas 3 — la funció a optimitzar, amb una sola variable. Substituïm $y$:

$A(x) = x \cdot y = x(6 - x) = 6x - x^2$

Pas 4 — derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 6 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3$

L'altura surt $6 - 3 = 3$: és un quadrat. De fet, entre tots els rectangles amb el mateix perímetre, el de més àrea sempre és el quadrat.

Comprovació que és un màxim: $A''(x) = -2 < 0$.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 3 x^{2} - 6 x + 2 \qquad f''(x) = 6 \left(x - 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = - 2 \sqrt{3}$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = 1 = 1$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x - 8$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$2 x - 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 4$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $1$, que és positiu, la paràbola obre cap amunt i l'extrem és un mínim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = 2$, positiva, o sigui mínim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 6 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = -4 = -4$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

Pas 1 — anomenar les variables. Base $x$, altura $y$.

Pas 2 — la condició de l'enunciat. El perímetre és $36$:

$2x + 2y = 36 \quad\Longrightarrow\quad y = 18 - x$

Pas 3 — la funció a optimitzar, amb una sola variable. Substituïm $y$:

$A(x) = x \cdot y = x(18 - x) = 18x - x^2$

Pas 4 — derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 18 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 9$

L'altura surt $18 - 9 = 9$: és un quadrat. De fet, entre tots els rectangles amb el mateix perímetre, el de més àrea sempre és el quadrat.

Comprovació que és un màxim: $A''(x) = -2 < 0$.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 3 x^{2} - 6 x - 4 \qquad f''(x) = 6 \left(x - 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(1 - \frac{\sqrt{21}}{3}) = - 2 \sqrt{21}$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.