Exercicis d'aplicacions de les derivades

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 3 = 3$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = - 2 x - 6$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$- 2 x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -3$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $-1$, que és negatiu, la paràbola obre cap avall i l'extrem és un màxim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = -2$, negativa, o sigui màxim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 12 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 11 = 11$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $40$, l'altre és $40 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(40 - x) = 40x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 40 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 20$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $20$ i $20$, i el producte val $400$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 6 x^{2} + 6 x - 4 \qquad f''(x) = 6 \left(2 x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6}) = 2 \sqrt{33}$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = 1 = 1$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = - 2 x - 4$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$- 2 x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $-1$, que és negatiu, la paràbola obre cap avall i l'extrem és un màxim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = -2$, negativa, o sigui màxim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 12 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = -13 = -13$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $50$, l'altre és $50 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(50 - x) = 50x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 50 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 25$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $25$ i $25$, i el producte val $625$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 6 x^{2} + 12 x \qquad f''(x) = 12 \left(x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(-2) = -12$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.