Exercicis d'aplicacions de les derivades

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 11 = 11$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 13 = 13$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,4)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (x^{2} - 4)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (x^{2} - 4)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 1.9365$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 17 = 17$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 37 = 37$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,5)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (x^{2} - 5)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (x^{2} - 5)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 2.1794$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = -7 = -7$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = -4 = -4$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,6)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (x^{2} - 6)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (x^{2} - 6)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 2.3979$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = -13 = -13$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.