Exercicis d'aplicacions de les derivades

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 8 = 8$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 6$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$6 x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $3$, que és positiu, la paràbola obre cap amunt i l'extrem és un mínim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = 6$, positiva, o sigui mínim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 12 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = -7 = -7$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $10$, l'altre és $10 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 10 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $5$ i $5$, i el producte val $25$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 6 x^{2} - 12 x \qquad f''(x) = 12 \left(x - 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(0) = -12$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 0 = 0$

El pendent és zero: la tangent és horitzontal, o sigui que hi ha un màxim o un mínim.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 4$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$6 x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2}{3}$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $3$, que és positiu, la paràbola obre cap amunt i l'extrem és un mínim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = 6$, positiva, o sigui mínim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 12 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = -10 = -10$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $16$, l'altre és $16 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(16 - x) = 16x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 16 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 8$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $8$ i $8$, i el producte val $64$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = 6 x^{2} - 12 x + 2 \qquad f''(x) = 12 \left(x - 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) = - 4 \sqrt{6}$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.