Exercicis d'aplicacions de les derivades

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 7 = 7$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 - 4 x$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$2 - 4 x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{2}$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $-2$, que és negatiu, la paràbola obre cap avall i l'extrem és un màxim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = -4$, negativa, o sigui màxim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} + 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = -1 = -1$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Variables. Anomenem $x$ el costat del quadrat que retallem. En doblegar, aquest $x$ passa a ser l'alçada de la caixa.

2 — La base. A cada costat del cartró en retallem $x$ per banda, o sigui $2x$ en total: la base queda de $24 - 2x$ de costat.

3 — Volum:

$V(x) = x\,(24 - 2x)^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$V'(x) = 12 xs^{2} - 192 xs + 576 = 0$

Les solucions són $x = 4$, $x = 12$. Una d'elles no serveix: si $x = 12$ la base es queda a zero i no hi ha caixa.

La bona és $x = 4$ cm.

Sempre cal comprovar que la solució té sentit físic. En aquests problemes surten valors matemàticament correctes però impossibles (longituds negatives, bases de mida zero), i s'han de descartar explicant per què.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2 \qquad f''(x) = - 6 \left(x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(-1 + \frac{\sqrt{15}}{3}) = - 2 \sqrt{15}$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 11 = 11$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 - 4 x$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$6 - 4 x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{2}$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $-2$, que és negatiu, la paràbola obre cap avall i l'extrem és un màxim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = -4$, negativa, o sigui màxim.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} + 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 47 = 47$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Variables. Anomenem $x$ el costat del quadrat que retallem. En doblegar, aquest $x$ passa a ser l'alçada de la caixa.

2 — La base. A cada costat del cartró en retallem $x$ per banda, o sigui $2x$ en total: la base queda de $30 - 2x$ de costat.

3 — Volum:

$V(x) = x\,(30 - 2x)^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$V'(x) = 12 xs^{2} - 240 xs + 900 = 0$

Les solucions són $x = 5$, $x = 15$. Una d'elles no serveix: si $x = 15$ la base es queda a zero i no hi ha caixa.

La bona és $x = 5$ cm.

Sempre cal comprovar que la solució té sentit físic. En aquests problemes surten valors matemàticament correctes però impossibles (longituds negatives, bases de mida zero), i s'han de descartar explicant per què.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 3 x^{2} + 6 x \qquad f''(x) = 6 \left(1 - x\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(0) = 6$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.