Exercicis d'aplicacions de les derivades

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 70 \quad\Longrightarrow\quad y = 70 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(70 - 2x) = 70x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 70 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 35/2 \text{ m}$

Llavors $y = 70 - 2\cdot35/2 = 35$ m, i l'àrea:

$A = 35/2 \cdot 35 = 1225/2 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 3$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = -9 = -9$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 32 = 32$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 90 \quad\Longrightarrow\quad y = 90 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(90 - 2x) = 90x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 90 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 45/2 \text{ m}$

Llavors $y = 90 - 2\cdot45/2 = 45$ m, i l'àrea:

$A = 45/2 \cdot 45 = 2025/2 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 3$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = -15 = -15$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = 1 = 1$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,2)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (x^{2} - 2)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (x^{2} - 2)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 1.3229$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = 5 = 5$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 13 = 13$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,3)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (x^{2} - 3)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (x^{2} - 3)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 1.6583$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.