Exercicis d'aplicacions de les derivades

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 2 = 2$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, 2 x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,2)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (2 x^{2} - 2)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (2 x^{2} - 2)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 0.9682$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = 8 = 8$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 20 = 20$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, 2 x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,3)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (2 x^{2} - 3)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (2 x^{2} - 3)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 1.1990$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 14 = 14$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 20 = 20$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

1 — Punt genèric de la corba. Qualsevol punt de la paràbola és $(x, 2 x^{2})$.

2 — Distància a $P(0,4)$:

$d(x) = \sqrt{x^2 + (2 x^{2} - 4)^2}$

3 — El truc. Derivar una arrel és incòmode, i no cal: la distància és mínima exactament on ho és el seu quadrat, perquè l'arrel és creixent. Minimitzem doncs:

$D(x) = x^2 + (2 x^{2} - 4)^2$

4 — Derivar, igualar a zero i quedar-se amb la millor solució:

$d_{\min} \approx 1.3919$

Aquest truc de minimitzar el quadrat apareix en tots els problemes de distància mínima i estalvia molta feina.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 20 = 20$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 12 x - 4$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = -10 = -10$

Com que surt negatiu, la funció està decreixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.