Simulacre d'examen d'aplicacions de les derivades

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

Pas 1 — anomenar les variables. Base $x$, altura $y$.

Pas 2 — la condició de l'enunciat. El perímetre és $20$:

$2x + 2y = 20 \quad\Longrightarrow\quad y = 10 - x$

Pas 3 — la funció a optimitzar, amb una sola variable. Substituïm $y$:

$A(x) = x \cdot y = x(10 - x) = 10x - x^2$

Pas 4 — derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 10 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5$

L'altura surt $10 - 5 = 5$: és un quadrat. De fet, entre tots els rectangles amb el mateix perímetre, el de més àrea sempre és el quadrat.

Comprovació que és un màxim: $A''(x) = -2 < 0$.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

Pas 1 — anomenar les variables. Base $x$, altura $y$.

Pas 2 — la condició de l'enunciat. El perímetre és $28$:

$2x + 2y = 28 \quad\Longrightarrow\quad y = 14 - x$

Pas 3 — la funció a optimitzar, amb una sola variable. Substituïm $y$:

$A(x) = x \cdot y = x(14 - x) = 14x - x^2$

Pas 4 — derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 14 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 7$

L'altura surt $14 - 7 = 7$: és un quadrat. De fet, entre tots els rectangles amb el mateix perímetre, el de més àrea sempre és el quadrat.

Comprovació que és un màxim: $A''(x) = -2 < 0$.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $10$, l'altre és $10 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 10 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $5$ i $5$, i el producte val $25$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

Els problemes d'optimització segueixen sempre els mateixos quatre passos.

1 — Variables. Un número és $x$; com que sumen $40$, l'altre és $40 - x$.

2 — Funció a optimitzar, ja amb una sola variable:

$P(x) = x(40 - x) = 40x - x^2$

3 — Derivar i igualar a zero:

$P'(x) = 40 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 20$

4 — Comprovar que és màxim: $P''(x) = -2 < 0$. Ho és.

Els dos números són $20$ i $20$, i el producte val $400$.

Resultat general que val la pena saber: amb la suma fixada, el producte és màxim quan els dos números són iguals.

1 — Variables. Anomenem $x$ el costat del quadrat que retallem. En doblegar, aquest $x$ passa a ser l'alçada de la caixa.

2 — La base. A cada costat del cartró en retallem $x$ per banda, o sigui $2x$ en total: la base queda de $12 - 2x$ de costat.

3 — Volum:

$V(x) = x\,(12 - 2x)^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$V'(x) = 12 xs^{2} - 96 xs + 144 = 0$

Les solucions són $x = 2$, $x = 6$. Una d'elles no serveix: si $x = 6$ la base es queda a zero i no hi ha caixa.

La bona és $x = 2$ cm.

Sempre cal comprovar que la solució té sentit físic. En aquests problemes surten valors matemàticament correctes però impossibles (longituds negatives, bases de mida zero), i s'han de descartar explicant per què.

1 — Variables. Anomenem $x$ el costat del quadrat que retallem. En doblegar, aquest $x$ passa a ser l'alçada de la caixa.

2 — La base. A cada costat del cartró en retallem $x$ per banda, o sigui $2x$ en total: la base queda de $48 - 2x$ de costat.

3 — Volum:

$V(x) = x\,(48 - 2x)^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$V'(x) = 12 xs^{2} - 384 xs + 2304 = 0$

Les solucions són $x = 8$, $x = 24$. Una d'elles no serveix: si $x = 24$ la base es queda a zero i no hi ha caixa.

La bona és $x = 8$ cm.

Sempre cal comprovar que la solució té sentit físic. En aquests problemes surten valors matemàticament correctes però impossibles (longituds negatives, bases de mida zero), i s'han de descartar explicant per què.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 60 \quad\Longrightarrow\quad y = 60 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 60 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 15 \text{ m}$

Llavors $y = 60 - 2\cdot15 = 30$ m, i l'àrea:

$A = 15 \cdot 30 = 450 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 70 \quad\Longrightarrow\quad y = 70 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(70 - 2x) = 70x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 70 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 35/2 \text{ m}$

Llavors $y = 70 - 2\cdot35/2 = 35$ m, i l'àrea:

$A = 35/2 \cdot 35 = 1225/2 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 2 x - 3$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = -1 = -1$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Als extrems (màxims i mínims) la funció deixa de pujar o de baixar un instant: la tangent hi és horitzontal i, per tant, la derivada val zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x - 4$

Pas 2 — igualar a zero i resoldre:

$6 x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2}{3}$

Pas 3 — saber si és màxim o mínim. Com que el coeficient de $x^2$ és $3$, que és positiu, la paràbola obre cap amunt i l'extrem és un mínim.

També es pot decidir amb la segona derivada: $f''(x) = 6$, positiva, o sigui mínim.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 11 = 11$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 13 = 13$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.