Exercicis d'aplicacions de les derivades

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 80 \quad\Longrightarrow\quad y = 80 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(80 - 2x) = 80x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 80 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 20 \text{ m}$

Llavors $y = 80 - 2\cdot20 = 40$ m, i l'àrea:

$A = 20 \cdot 40 = 800 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} + 6 x \qquad f''(x) = 6 \left(1 - 2 x\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(0) = 6$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 1 = 1$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 14 = 14$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 100 \quad\Longrightarrow\quad y = 100 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 100 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 25 \text{ m}$

Llavors $y = 100 - 2\cdot25 = 50$ m, i l'àrea:

$A = 25 \cdot 50 = 1250 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} + 6 x + 2 \qquad f''(x) = 6 \left(1 - 2 x\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{6}) = 2 \sqrt{21}$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = -3 = -3$

El pendent és negatiu: la funció baixa en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 38 = 38$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 120 \quad\Longrightarrow\quad y = 120 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 120 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 30 \text{ m}$

Llavors $y = 120 - 2\cdot30 = 60$ m, i l'àrea:

$A = 30 \cdot 60 = 1800 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} + 12 x \qquad f''(x) = 12 \left(1 - x\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(0) = 12$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.