Exercicis d'aplicacions de les derivades

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = 9 = 9$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} + 6 x + 1$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 46 = 46$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 40 \quad\Longrightarrow\quad y = 40 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 40 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 10 \text{ m}$

Llavors $y = 40 - 2\cdot10 = 20$ m, i l'àrea:

$A = 10 \cdot 20 = 200 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} - 6 x \qquad f''(x) = - 6 \left(2 x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(-1) = 6$

Com que és positiva, la corba està girada cap amunt (convexa) i el punt és un mínim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 13 = 13$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = 2 = 2$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.

El detall que decideix aquest problema és que un costat no es tanca.

1 — Variables. Ample $x$ (els dos costats perpendiculars al mur), llarg $y$ (el paral·lel).

2 — La condició: només hi ha tres costats de tanca.

$2x + y = 60 \quad\Longrightarrow\quad y = 60 - 2x$

3 — Àrea:

$A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$

4 — Derivar i igualar a zero:

$A'(x) = 60 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 15 \text{ m}$

Llavors $y = 60 - 2\cdot15 = 30$ m, i l'àrea:

$A = 15 \cdot 30 = 450 \text{ m}^2$

Fixa't que aquí no surt un quadrat, a diferència del cas del perímetre tancat: el llarg és el doble de l'ample. Per això no es poden aplicar resultats memoritzats sense llegir l'enunciat.

Que la primera derivada s'anul·li només vol dir que la tangent és horitzontal: encara no sabem si és un màxim, un mínim o un punt d'inflexió. Ho decideix la segona derivada.

$f'(x) = - 6 x^{2} - 6 x + 2 \qquad f''(x) = - 6 \left(2 x + 1\right)$

Substituint el punt crític:

$f''(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{6}) = - 2 \sqrt{21}$

Com que és negativa, la corba està girada cap avall (còncava) i el punt és un màxim.

Manera de recordar-ho: la segona derivada negativa fa una ceba cap avall (∩, màxim) i positiva, una vall (∪, mínim). Si dona zero, el criteri no decideix i cal mirar el signe de $f'$ a banda i banda.

La derivada en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Aquesta és la interpretació geomètrica de la derivada i cau a l'examen cada any.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 4 x + 5$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 17 = 17$

El pendent és positiu: la funció puja en aquest punt.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 6 x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 14 = 14$

Com que surt positiu, la funció està creixent en aquest punt.

Aquesta és la utilitat pràctica de la derivada: el seu signe et diu si la funció puja o baixa, sense necessitat de dibuixar-la.