Exercicis de transformacions geomètriques

El determinant.

$\det = 1 \cdot 2 - 7 \cdot 3 = -19$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-19| = 19$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $3$, i restant $4$ queda $-1$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = -1$

El punt reflectit.

$(0, 3) - (-1)\cdot(1, 1) = (1,\ 4)$

La coordenada demanada és $1$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 1$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|1| = 1$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $4$, i restant $1$ queda $3$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 5$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{6}{5}$

El punt reflectit.

$(4, 0) - \frac{6}{5}\cdot(1, 2) = (\frac{14}{5},\ - \frac{12}{5})$

La coordenada demanada és $\frac{14}{5} \approx 2.8000$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 2 \cdot 7 - 0 \cdot 0 = 14$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|14| = 14$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $18$, i restant $2$ queda $16$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 25$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{32}{25}$

El punt reflectit.

$(2, 3) - \frac{32}{25}\cdot(3, 4) = (- \frac{46}{25},\ - \frac{53}{25})$

La coordenada demanada és $- \frac{46}{25} \approx -1.8400$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 4 \cdot 3 - 5 \cdot 2 = 2$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|2| = 2$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $-5$, i restant $3$ queda $-8$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = -8$

El punt reflectit.

$(1, 6) - (-8)\cdot(1, -1) = (9,\ -2)$

La coordenada demanada és $9$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 6 \cdot 5 - 2 \cdot 1 = 28$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|28| = 28$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $20$, i restant $1$ queda $19$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 29$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{38}{29}$

El punt reflectit.

$(5, 2) - \frac{38}{29}\cdot(2, 5) = (\frac{69}{29},\ - \frac{132}{29})$

La coordenada demanada és $\frac{69}{29} \approx 2.3793$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.