Exercicis de transformacions geomètriques

El determinant.

$\det = 4 \cdot 5 - 0 \cdot 0 = 20$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|20| = 20$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $8$, i restant $2$ queda $6$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 5$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{12}{5}$

El punt reflectit.

$(0, 4) - \frac{12}{5}\cdot(1, 2) = (- \frac{12}{5},\ - \frac{4}{5})$

La coordenada demanada és $- \frac{12}{5} \approx -2.4000$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 4$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|4| = 4$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $0$, i restant $0$ queda $0$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 0$

El punt reflectit.

$(5, 5) - 0\cdot(1, -1) = (5,\ 5)$

La coordenada demanada és $5$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 7 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 11$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|11| = 11$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $7$, i restant $4$ queda $3$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 10$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{3}{5}$

El punt reflectit.

$(2, 1) - \frac{3}{5}\cdot(3, 1) = (\frac{1}{5},\ \frac{2}{5})$

La coordenada demanada és $\frac{1}{5} \approx 0.2000$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 1 = 1$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|1| = 1$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $4$, i restant $5$ queda $-1$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = -1$

El punt reflectit.

$(1, 3) - (-1)\cdot(1, 1) = (2,\ 4)$

La coordenada demanada és $2$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 3 \cdot 2 - 3 \cdot 2 = 0$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|0| = 0$

Val zero: la transformació és singular i aixafa tot el pla sobre una recta (o sobre un punt). No és invertible i no conserva dimensions.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $20$, i restant $1$ queda $19$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 13$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{38}{13}$

El punt reflectit.

$(7, 2) - \frac{38}{13}\cdot(2, 3) = (\frac{15}{13},\ - \frac{88}{13})$

La coordenada demanada és $\frac{15}{13} \approx 1.1538$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.