Exercicis de transformacions geomètriques

El determinant.

$\det = 5 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 10$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|10| = 10$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $3$, i restant $2$ queda $1$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 25$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{2}{25}$

El punt reflectit.

$(0, 1) - \frac{2}{25}\cdot(4, 3) = (- \frac{8}{25},\ \frac{19}{25})$

La coordenada demanada és $- \frac{8}{25} \approx -0.3200$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1 = 11$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|11| = 11$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $3$, i restant $2$ queda $1$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 1$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 2$

El punt reflectit.

$(3, 4) - 2\cdot(1, 0) = (1,\ 4)$

La coordenada demanada és $1$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 0 \cdot 0 - 3 \cdot (-3) = 9$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|9| = 9$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $6$, i restant $4$ queda $2$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 1$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 4$

El punt reflectit.

$(2, 6) - 4\cdot(0, 1) = (2,\ 2)$

La coordenada demanada és $2$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 6 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 16$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|16| = 16$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $6$, i restant $3$ queda $3$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 3$

El punt reflectit.

$(4, 2) - 3\cdot(1, 1) = (1,\ -1)$

La coordenada demanada és $1$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 1 \cdot 3 - 5 \cdot 2 = -7$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-7| = 7$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $4$, i restant $6$ queda $-2$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 8$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = - \frac{1}{2}$

El punt reflectit.

$(1, 1) - (-\frac{1}{2})\cdot(2, 2) = (2,\ 2)$

La coordenada demanada és $2$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.