Exercicis de transformacions geomètriques

El determinant.

$\det = 1 \cdot 9 - 8 \cdot 2 = -7$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-7| = 7$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $8$, i restant $6$ queda $2$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 2$

El punt reflectit.

$(3, 5) - 2\cdot(1, 1) = (1,\ 3)$

La coordenada demanada és $1$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 3 \cdot 3 - 5 \cdot 5 = -16$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-16| = 16$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $12$, i restant $2$ queda $10$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 17$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{20}{17}$

El punt reflectit.

$(2, 4) - \frac{20}{17}\cdot(4, 1) = (- \frac{46}{17},\ \frac{48}{17})$

La coordenada demanada és $- \frac{46}{17} \approx -2.7059$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 7 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 36$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|36| = 36$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $9$, i restant $4$ queda $5$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 10$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 1$

El punt reflectit.

$(6, 1) - 1\cdot(1, 3) = (5,\ -2)$

La coordenada demanada és $5$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 0 \cdot 0 - 5 \cdot 5 = -25$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-25| = 25$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $17$, i restant $5$ queda $12$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 13$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{24}{13}$

El punt reflectit.

$(1, 7) - \frac{24}{13}\cdot(3, 2) = (- \frac{59}{13},\ \frac{43}{13})$

La coordenada demanada és $- \frac{59}{13} \approx -4.5385$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 2 \cdot 4 - 7 \cdot 1 = 1$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|1| = 1$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $5$, i restant $1$ queda $4$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 5$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{8}{5}$

El punt reflectit.

$(4, 3) - \frac{8}{5}\cdot(2, -1) = (\frac{4}{5},\ \frac{23}{5})$

La coordenada demanada és $\frac{4}{5} \approx 0.8000$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.