Exercicis de transformacions geomètriques

El criteri. Per a una aplicació afí, tot depèn de la part lineal:

• Isometria si compleix que la transposada per ella mateixa dona la identitat, és a dir si és ortogonal. Conserva distàncies, angles i àrees.
• Semblança si és un múltiple positiu d'una ortogonal. Conserva angles i multiplica les distàncies per un factor fix.
• Cap de les dues si deforma de manera diferent segons la direcció.

En aquest cas: La transformació $(x,y)\mapsto(y,x)$, i és la reflexió respecte de la bisectriu, i la seva matriu és ortogonal. Per tant és Isometria (conserva distàncies).

Un detall que confon. La translació no afecta gens la classificació, perquè la condició només mira la part lineal. Una rotació amb translació segueix sent una isometria.

I el determinant? Només parla de l'àrea. Un cisallament té determinant $1$ i no és ni isometria ni semblança: conserva àrees i destrossa angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $7$, i restant $3$ queda $4$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 1$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 8$

El punt reflectit.

$(2, 7) - 8\cdot(0, 1) = (2,\ -1)$

La coordenada demanada és $2$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 0 \cdot 0 - 2 \cdot (-2) = 4$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|4| = 4$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

El criteri. Per a una aplicació afí, tot depèn de la part lineal:

• Isometria si compleix que la transposada per ella mateixa dona la identitat, és a dir si és ortogonal. Conserva distàncies, angles i àrees.
• Semblança si és un múltiple positiu d'una ortogonal. Conserva angles i multiplica les distàncies per un factor fix.
• Cap de les dues si deforma de manera diferent segons la direcció.

En aquest cas: La transformació $(x,y)\mapsto(2x,\,2y+1)$, i és una homotècia de raó $2$ composta amb una translació. Per tant és Semblança (conserva angles, no distàncies).

Un detall que confon. La translació no afecta gens la classificació, perquè la condició només mira la part lineal. Una rotació amb translació segueix sent una isometria.

I el determinant? Només parla de l'àrea. Un cisallament té determinant $1$ i no és ni isometria ni semblança: conserva àrees i destrossa angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $0$, i restant $0$ queda $0$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 5$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 0$

El punt reflectit.

$(1, 2) - 0\cdot(2, -1) = (1,\ 2)$

La coordenada demanada és $1$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 6 \cdot 2 - 3 \cdot 4 = 0$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|0| = 0$

Val zero: la transformació és singular i aixafa tot el pla sobre una recta (o sobre un punt). No és invertible i no conserva dimensions.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

El criteri. Per a una aplicació afí, tot depèn de la part lineal:

• Isometria si compleix que la transposada per ella mateixa dona la identitat, és a dir si és ortogonal. Conserva distàncies, angles i àrees.
• Semblança si és un múltiple positiu d'una ortogonal. Conserva angles i multiplica les distàncies per un factor fix.
• Cap de les dues si deforma de manera diferent segons la direcció.

En aquest cas: La transformació $(x,y)\mapsto(x,\,0)$, i col·lapsa tot el pla sobre una recta. Per tant és Ni una cosa ni l'altra.

Un detall que confon. La translació no afecta gens la classificació, perquè la condició només mira la part lineal. Una rotació amb translació segueix sent una isometria.

I el determinant? Només parla de l'àrea. Un cisallament té determinant $1$ i no és ni isometria ni semblança: conserva àrees i destrossa angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $7$, i restant $6$ queda $1$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 10$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{1}{5}$

El punt reflectit.

$(4, 1) - \frac{1}{5}\cdot(1, 3) = (\frac{19}{5},\ \frac{2}{5})$

La coordenada demanada és $\frac{19}{5} \approx 3.8000$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 1 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = -1$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-1| = 1$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $3$, i restant $1$ queda $2$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 2$

El punt reflectit.

$(3, 0) - 2\cdot(1, 1) = (1,\ -2)$

La coordenada demanada és $1$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.