Exercicis de transformacions geomètriques

El determinant.

$\det = 8 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = 0$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|0| = 0$

Val zero: la transformació és singular i aixafa tot el pla sobre una recta (o sobre un punt). No és invertible i no conserva dimensions.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $3$, i restant $0$ queda $3$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 25$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{6}{25}$

El punt reflectit.

$(5, 3) - \frac{6}{25}\cdot(3, -4) = (\frac{107}{25},\ \frac{99}{25})$

La coordenada demanada és $\frac{107}{25} \approx 4.2800$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = -5$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-5| = 5$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $12$, i restant $2$ queda $10$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 2$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = 10$

El punt reflectit.

$(6, 6) - 10\cdot(1, 1) = (-4,\ -4)$

La coordenada demanada és $-4$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 1 \cdot 7 - 6 \cdot 2 = -5$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|-5| = 5$

El signe negatiu indica que la transformació inverteix l'orientació: converteix una base dextrògira en una levògira. Hi ha una reflexió involucrada.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $12$, i restant $3$ queda $9$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 5$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{18}{5}$

El punt reflectit.

$(2, 5) - \frac{18}{5}\cdot(1, 2) = (- \frac{8}{5},\ - \frac{11}{5})$

La coordenada demanada és $- \frac{8}{5} \approx -1.6000$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 9 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 9$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|9| = 9$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $6$, i restant $5$ queda $1$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 5$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{2}{5}$

El punt reflectit.

$(1, 4) - \frac{2}{5}\cdot(2, 1) = (\frac{1}{5},\ \frac{18}{5})$

La coordenada demanada és $\frac{1}{5} \approx 0.2000$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.

El determinant.

$\det = 2 \cdot 8 - 5 \cdot 3 = 1$

El factor d'àrea n'és el valor absolut:

$|1| = 1$

El signe positiu indica que es conserva l'orientació.

El que el determinant no diu. Només parla de l'àrea. Per saber si es conserven angles o longituds cal comprovar si la matriu és ortogonal (o un múltiple d'una d'ortogonal). Un cisallament té determinant $1$ i deforma completament els angles.

La fórmula.

$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n$

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $11$, i restant $7$ queda $4$. Dividint per $\lVert n\rVert^{2} = 17$ i multiplicant per $2$:

$\text{factor} = \frac{8}{17}$

El punt reflectit.

$(3, 2) - \frac{8}{17}\cdot(1, 4) = (\frac{43}{17},\ \frac{2}{17})$

La coordenada demanada és $\frac{43}{17} \approx 2.5294$.

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit ha de pertànyer a la recta, i el vector que els uneix ha de ser paral·lel a la normal. Són dues comprovacions de cinc segons que detecten qualsevol error de signe o de factor.