Exercicis de límits, continuïtat i derivada

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{3}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.3333$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-1+h) = 2 h^{2} - 7 h + 5 \qquad f(-1) = 5$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-1+h) - f(-1) = 2 h^{2} - 7 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = 2 h - 7$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-1) = -7$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 4 x - 3$, i substituint $-1$ surt $-7$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+9} + \sqrt{9}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+9} - \sqrt{9})(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}) = (x+9) - 9 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{4 x\left(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{4\left(\sqrt{9} + \sqrt{9}\right)} = \frac{1}{8\sqrt{9}} \approx 0.0417$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{4}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-2+h) = 2 h^{2} - 11 h + 14 \qquad f(-2) = 14$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-2+h) - f(-2) = 2 h^{2} - 11 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = 2 h - 11$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-2) = -11$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 4 x - 3$, i substituint $-2$ surt $-11$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{5}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{5} = \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(1+h) = 2 h^{2} + 3 h + 1 \qquad f(1) = 1$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(1+h) - f(1) = 2 h^{2} + 3 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 2 h + 3$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(1) = 3$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 4 x - 1$, i substituint $1$ surt $3$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{6}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(2+h) = 2 h^{2} + 7 h + 6 \qquad f(2) = 6$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(2+h) - f(2) = 2 h^{2} + 7 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 2 h + 7$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(2) = 7$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 4 x - 1$, i substituint $2$ surt $7$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{7}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{7} = \frac{4}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.