Exercicis de límits, continuïtat i derivada

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+2} + \sqrt{2}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+2} - \sqrt{2})(\sqrt{x+2} + \sqrt{2}) = (x+2) - 2 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{2 x\left(\sqrt{x+2} + \sqrt{2}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{2\left(\sqrt{2} + \sqrt{2}\right)} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \approx 0.1768$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = 8$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{8}{x}\right)^x = e^{8} \approx 2980.9580$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{2}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-1+h) = h^{2} - 3 h + 2 \qquad f(-1) = 2$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-1+h) - f(-1) = h^{2} - 3 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = h - 3$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-1) = -3$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x - 1$, i substituint $-1$ surt $-3$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+3} + \sqrt{3}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+3} - \sqrt{3})(\sqrt{x+3} + \sqrt{3}) = (x+3) - 3 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{2 x\left(\sqrt{x+3} + \sqrt{3}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{2\left(\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)} = \frac{1}{4\sqrt{3}} \approx 0.1443$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = -1$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = e^{-1} \approx 0.3679$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{3}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-2+h) = h^{2} - 5 h + 6 \qquad f(-2) = 6$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-2+h) - f(-2) = h^{2} - 5 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = h - 5$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-2) = -5$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x - 1$, i substituint $-2$ surt $-5$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+5} - \sqrt{5})(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}) = (x+5) - 5 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{2 x\left(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{2\left(\sqrt{5} + \sqrt{5}\right)} = \frac{1}{4\sqrt{5}} \approx 0.1118$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = -2$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 - \frac{2}{x}\right)^x = e^{-2} \approx 0.1353$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.