Exercicis de límits, continuïtat i derivada

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(3+h) = 3 h^{2} + 20 h + 33 \qquad f(3) = 33$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(3+h) - f(3) = 3 h^{2} + 20 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = 3 h + 20$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(3) = 20$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 2$, i substituint $3$ surt $20$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{3 e^{3 x}}{5}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x}}{5} = \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \approx 0.6000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-1+h) = 3 h^{2} - 4 h + 1 \qquad f(-1) = 1$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-1+h) - f(-1) = 3 h^{2} - 4 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = 3 h - 4$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-1) = -4$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 2$, i substituint $-1$ surt $-4$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{3 e^{3 x}}{6}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-2+h) = 3 h^{2} - 10 h + 8 \qquad f(-2) = 8$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-2+h) - f(-2) = 3 h^{2} - 10 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = 3 h - 10$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-2) = -10$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 2$, i substituint $-2$ surt $-10$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{3 e^{3 x}}{7}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x}}{7} = \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(1+h) = 3 h^{2} + 10 h + 7 \qquad f(1) = 7$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(1+h) - f(1) = 3 h^{2} + 10 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 3 h + 10$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(1) = 10$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 4$, i substituint $1$ surt $10$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 e^{4 x}}{1}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x}}{1} = \frac{4}{1} = 4$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(2+h) = 3 h^{2} + 16 h + 20 \qquad f(2) = 20$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(2+h) - f(2) = 3 h^{2} + 16 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 3 h + 16$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(2) = 16$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 4$, i substituint $2$ surt $16$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 e^{4 x}}{2}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.