Exercicis de límits, continuïtat i derivada

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(3+h) = 3 h^{2} + 22 h + 39 \qquad f(3) = 39$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(3+h) - f(3) = 3 h^{2} + 22 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = 3 h + 22$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(3) = 22$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 4$, i substituint $3$ surt $22$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 e^{4 x}}{3}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x}}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.3333$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-1+h) = 3 h^{2} - 2 h - 1 \qquad f(-1) = -1$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-1+h) - f(-1) = 3 h^{2} - 2 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = 3 h - 2$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-1) = -2$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 4$, i substituint $-1$ surt $-2$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 e^{4 x}}{4}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-2+h) = 3 h^{2} - 8 h + 4 \qquad f(-2) = 4$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-2+h) - f(-2) = 3 h^{2} - 8 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = 3 h - 8$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-2) = -8$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 6 x + 4$, i substituint $-2$ surt $-8$. Coincideix.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 e^{4 x}}{5}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x}}{5} = \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 e^{4 x}}{6}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{4 e^{4 x}}{7}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x}}{7} = \frac{4}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{\frac{1}{x + 1}}{1}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1} = \frac{1}{1} = 1$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{\frac{1}{x + 1}}{2}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.