Exercicis de límits, continuïtat i derivada

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(2+h) = h^{2} + 8 h + 12 \qquad f(2) = 12$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(2+h) - f(2) = h^{2} + 8 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = h + 8$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(2) = 8$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x + 4$, i substituint $2$ surt $8$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+7} + \sqrt{7}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+7} - \sqrt{7})(\sqrt{x+7} + \sqrt{7}) = (x+7) - 7 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{3 x\left(\sqrt{x+7} + \sqrt{7}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{3\left(\sqrt{7} + \sqrt{7}\right)} = \frac{1}{6\sqrt{7}} \approx 0.0630$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{4}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{4} = \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \approx 0.7500$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(3+h) = h^{2} + 10 h + 21 \qquad f(3) = 21$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(3+h) - f(3) = h^{2} + 10 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = h + 10$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(3) = 10$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x + 4$, i substituint $3$ surt $10$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+9} + \sqrt{9}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+9} - \sqrt{9})(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}) = (x+9) - 9 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{3 x\left(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{3\left(\sqrt{9} + \sqrt{9}\right)} = \frac{1}{6\sqrt{9}} \approx 0.0556$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{5}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{5} = \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \approx 0.6000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-1+h) = h^{2} + 2 h - 3 \qquad f(-1) = -3$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-1+h) - f(-1) = h^{2} + 2 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = h + 2$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-1) = 2$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x + 4$, i substituint $-1$ surt $2$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+1} + \sqrt{1}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+1} - \sqrt{1})(\sqrt{x+1} + \sqrt{1}) = (x+1) - 1 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{4 x\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{1}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{4\left(\sqrt{1} + \sqrt{1}\right)} = \frac{1}{8\sqrt{1}} \approx 0.1250$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{6}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-2+h) = h^{2} - 4 \qquad f(-2) = -4$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-2+h) - f(-2) = h^{2}$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = h$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-2) = 0$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x + 4$, i substituint $-2$ surt $0$. Coincideix.