Exercicis de límits, continuïtat i derivada

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{6}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos{\left(x \right)}}{6} = \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(1+h) = h^{2} + h \qquad f(1) = 0$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(1+h) - f(1) = h^{2} + h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = h + 1$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(1) = 1$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x - 1$, i substituint $1$ surt $1$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+9} + \sqrt{9}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+9} - \sqrt{9})(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}) = (x+9) - 9 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{x\left(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{1\left(\sqrt{9} + \sqrt{9}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{9}} \approx 0.1667$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = 6$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{6}{x}\right)^x = e^{6} \approx 403.4288$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{7}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos{\left(x \right)}}{7} = \frac{1}{7} = \frac{1}{7} \approx 0.1429$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(2+h) = h^{2} + 3 h + 2 \qquad f(2) = 2$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(2+h) - f(2) = h^{2} + 3 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = h + 3$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(2) = 3$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x - 1$, i substituint $2$ surt $3$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+1} + \sqrt{1}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+1} - \sqrt{1})(\sqrt{x+1} + \sqrt{1}) = (x+1) - 1 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{2 x\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{1}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{2\left(\sqrt{1} + \sqrt{1}\right)} = \frac{1}{4\sqrt{1}} \approx 0.2500$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = 7$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{7}{x}\right)^x = e^{7} \approx 1096.6332$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{1}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{1} = \frac{2}{1} = 2$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(3+h) = h^{2} + 5 h + 6 \qquad f(3) = 6$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(3+h) - f(3) = h^{2} + 5 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = h + 5$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(3) = 5$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x - 1$, i substituint $3$ surt $5$. Coincideix.