Exercicis de límits, continuïtat i derivada

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+3} + \sqrt{3}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+3} - \sqrt{3})(\sqrt{x+3} + \sqrt{3}) = (x+3) - 3 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{x\left(\sqrt{x+3} + \sqrt{3}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{1\left(\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.2887$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = 3$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = e^{3} \approx 20.0855$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{4}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos{\left(x \right)}}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-1+h) = h^{2} - 5 h + 4 \qquad f(-1) = 4$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-1+h) - f(-1) = h^{2} - 5 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = h - 5$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-1) = -5$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x - 3$, i substituint $-1$ surt $-5$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+5} - \sqrt{5})(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}) = (x+5) - 5 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{x\left(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{1\left(\sqrt{5} + \sqrt{5}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{5}} \approx 0.2236$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = 4$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{4}{x}\right)^x = e^{4} \approx 54.5982$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — comprovar la indeterminació. Amb $x = 0$, el numerador dona $0$ i el denominador també: tenim $\frac{0}{0}$, que no és cap resultat.

Pas 2 — L'Hôpital. La regla diu que, si hi ha indeterminació $\frac{0}{0}$, el límit no canvia si derives el de dalt i el de baix per separat. Compte: això no és la regla del quocient, no s'ha de derivar la fracció sencera.

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$

Pas 3 — substituir ara sí:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5} = \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Recorda que L'Hôpital només es pot aplicar amb indeterminacions $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Amb qualsevol altra cosa dona resultats falsos.

La definició de derivada és el límit del quocient incremental: quant canvia la funció dividit per quant has mogut la $x$, quan aquest moviment tendeix a zero.

Pas 1 — les dues avaluacions:

$f(-2+h) = h^{2} - 7 h + 10 \qquad f(-2) = 10$

Pas 2 — la resta, que ha de deixar tots els termes amb una $h$ com a mínim:

$f(-2+h) - f(-2) = h^{2} - 7 h$

Pas 3 — dividir per $h$ i simplificar. Aquí és on la $h$ del denominador es cancel·la, i per això desapareix la indeterminació:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = h - 7$

Pas 4 — fer $h \to 0$:

$f'(-2) = -7$

Comprovació ràpida amb les regles de sempre: $f'(x) = 2 x - 3$, i substituint $-2$ surt $-7$. Coincideix.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+7} + \sqrt{7}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+7} - \sqrt{7})(\sqrt{x+7} + \sqrt{7}) = (x+7) - 7 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{x\left(\sqrt{x+7} + \sqrt{7}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{1\left(\sqrt{7} + \sqrt{7}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{7}} \approx 0.1890$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = 5$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{5}{x}\right)^x = e^{5} \approx 148.4132$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.