Exercicis de models amb equacions diferencials

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{10}(T - 25)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 25$, aleshores $u' = -\frac{1}{10}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 25 + (90 - 25)e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(10) = 25 + 65\,e^{-1} \approx 48.9122\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $25$ i $90$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{100}{10} - 1 = 9$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{100}{1 + 9e^{-t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$N(1) \approx 23.1969$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $100$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $100$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 50$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. El capital creix per dos motius: l'interès, proporcional al que ja hi ha, i l'aportació, constant.

$K' = \frac{1}{20}K$

Pas 2 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-\frac{1}{20}t}$, i surt

$K(t) = 1000e^{\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar a $T = 5$.

$K(5) \approx 1284.0254\ \text{€}$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu: serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.

Pas 1 — discriminant.

$c^{2} - 4mk = 2^{2} - 4\cdot1\cdot5 = -16$

Pas 2 — llegir-lo. Negatiu: arrels complexes, el sistema oscil·la amb amplitud decreixent. Zero: arrel doble, torna a l'equilibri sense oscil·lar i el més ràpid possible. Positiu: dues arrels reals, torna sense oscil·lar però més lentament.

Aquí val $-16$, o sigui Subamortit (oscil·la).

El detall contraintuïtiu: passat el punt crític, posar més amortiment fa que el sistema torni a l'equilibri més lentament, no més ràpid. Per això els amortidors es dissenyen a prop del cas crític.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 10\cdot\frac{M}{100} = -\frac{1}{10}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 10e^{-3} \approx 0.4979\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{10}} \approx 6.93$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{10}(T - 25)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 25$, aleshores $u' = -\frac{1}{10}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 25 + (90 - 25)e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(20) = 25 + 65\,e^{-2} \approx 33.7968\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $25$ i $90$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{100}{10} - 1 = 9$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{100}{1 + 9e^{-t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 2$.

$N(2) \approx 45.0853$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $100$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $100$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 50$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. El capital creix per dos motius: l'interès, proporcional al que ja hi ha, i l'aportació, constant.

$K' = \frac{1}{20}K$

Pas 2 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-\frac{1}{20}t}$, i surt

$K(t) = 1000e^{\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar a $T = 10$.

$K(10) \approx 1648.7213\ \text{€}$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu: serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.

Pas 1 — discriminant.

$c^{2} - 4mk = 7^{2} - 4\cdot1\cdot12 = 1$

Pas 2 — llegir-lo. Negatiu: arrels complexes, el sistema oscil·la amb amplitud decreixent. Zero: arrel doble, torna a l'equilibri sense oscil·lar i el més ràpid possible. Positiu: dues arrels reals, torna sense oscil·lar però més lentament.

Aquí val $1$, o sigui Sobreamortit (no oscil·la).

El detall contraintuïtiu: passat el punt crític, posar més amortiment fa que el sistema torni a l'equilibri més lentament, no més ràpid. Per això els amortidors es dissenyen a prop del cas crític.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 10\cdot\frac{M}{100} = -\frac{1}{10}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 20e^{-1} \approx 7.3576\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{10}} \approx 6.93$ minuts, i no depèn de la sal inicial.