Exercicis de models amb equacions diferencials

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{500}{50} - 1 = 9$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{500}{1 + 9e^{-2t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$N(1) \approx 225.4265$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $500$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $500$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 250$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 10\cdot\frac{M}{200} = -\frac{1}{20}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 20e^{-\frac{3}{2}} \approx 4.4626\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{20}} \approx 13.86$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{20}(T - 0)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 0$, aleshores $u' = -\frac{1}{20}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 0 + (80 - 0)e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(20) = 0 + 80\,e^{-1} \approx 29.4304\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $0$ i $80$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{500}{50} - 1 = 9$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{500}{1 + 9e^{-2t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 2$.

$N(2) \approx 429.2432$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $500$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $500$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 250$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 2\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{25}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{25}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 10e^{-\frac{2}{5}} \approx 6.7032\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{25}} \approx 17.33$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{10}(T - 0)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 0$, aleshores $u' = -\frac{1}{10}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 0 + (100 - 0)e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(10) = 0 + 100\,e^{-1} \approx 36.7879\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $0$ i $100$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{1000}{10} - 1 = 99$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{1000}{1 + 99e^{-2t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$N(1) \approx 69.4532$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $1000$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $1000$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 500$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 2\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{25}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{25}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 10e^{-\frac{6}{5}} \approx 3.0119\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{25}} \approx 17.33$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{10}(T - 0)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 0$, aleshores $u' = -\frac{1}{10}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 0 + (100 - 0)e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(20) = 0 + 100\,e^{-2} \approx 13.5335\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $0$ i $100$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{1000}{10} - 1 = 99$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{1000}{1 + 99e^{-2t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 2$.

$N(2) \approx 355.4610$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $1000$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $1000$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 500$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.