Exercicis de models amb equacions diferencials

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{1000}{10} - 1 = 99$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{1000}{1 + 99e^{-t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 2$.

$N(2) \approx 69.4532$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $1000$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $1000$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 500$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. El capital creix per dos motius: l'interès, proporcional al que ja hi ha, i l'aportació, constant.

$K' = \frac{1}{20}K + 100$

Pas 2 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-\frac{1}{20}t}$, i surt

$K(t) = 5000e^{\frac{1}{20}t} + \frac{100}{\frac{1}{20}}\left(e^{\frac{1}{20}t} - 1\right)$

Pas 3 — avaluar a $T = 10$.

$K(10) \approx 9541.0489\ \text{€}$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu: serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 4\cdot\frac{M}{200} = -\frac{1}{50}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{50}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 20e^{-\frac{1}{5}} \approx 16.3746\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{50}} \approx 34.66$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{20}(T - 25)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 25$, aleshores $u' = -\frac{1}{20}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 25 + (100 - 25)e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(10) = 25 + 75\,e^{-\frac{1}{2}} \approx 70.4898\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $25$ i $100$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{1000}{50} - 1 = 19$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{1000}{1 + 19e^{-t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$N(1) \approx 125.1610$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $1000$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $1000$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 500$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. El capital creix per dos motius: l'interès, proporcional al que ja hi ha, i l'aportació, constant.

$K' = \frac{1}{20}K + 500$

Pas 2 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-\frac{1}{20}t}$, i surt

$K(t) = 5000e^{\frac{1}{20}t} + \frac{500}{\frac{1}{20}}\left(e^{\frac{1}{20}t} - 1\right)$

Pas 3 — avaluar a $T = 5$.

$K(5) \approx 9260.3813\ \text{€}$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu: serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 4\cdot\frac{M}{200} = -\frac{1}{50}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{50}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 20e^{-\frac{3}{5}} \approx 10.9762\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{50}} \approx 34.66$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{20}(T - 25)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 25$, aleshores $u' = -\frac{1}{20}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 25 + (100 - 25)e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(20) = 25 + 75\,e^{-1} \approx 52.5910\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $25$ i $100$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{1000}{50} - 1 = 19$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{1000}{1 + 19e^{-t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 2$.

$N(2) \approx 280.0046$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $1000$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $1000$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 500$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. El capital creix per dos motius: l'interès, proporcional al que ja hi ha, i l'aportació, constant.

$K' = \frac{1}{20}K + 500$

Pas 2 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-\frac{1}{20}t}$, i surt

$K(t) = 5000e^{\frac{1}{20}t} + \frac{500}{\frac{1}{20}}\left(e^{\frac{1}{20}t} - 1\right)$

Pas 3 — avaluar a $T = 10$.

$K(10) \approx 14730.8191\ \text{€}$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu: serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.