Exercicis de models amb equacions diferencials

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 5\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{10}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 10e^{-1} \approx 3.6788\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{10}} \approx 6.93$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 5\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{10}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 10e^{-3} \approx 0.4979\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{10}} \approx 6.93$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 5\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{10}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 20e^{-1} \approx 7.3576\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{10}} \approx 6.93$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 5\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{10}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 20e^{-3} \approx 0.9957\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{10}} \approx 6.93$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 10\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{5}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{5}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 10e^{-2} \approx 1.3534\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{5}} \approx 3.47$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 10\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{5}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{5}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 10e^{-6} \approx 0.0248\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{5}} \approx 3.47$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 10\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{5}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{5}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 20e^{-2} \approx 2.7067\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{5}} \approx 3.47$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 10\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{5}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{5}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 20e^{-6} \approx 0.0496\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{5}} \approx 3.47$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 2\cdot\frac{M}{400} = -\frac{1}{200}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{200}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 10e^{-\frac{1}{20}} \approx 9.5123\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{200}} \approx 138.63$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 2\cdot\frac{M}{400} = -\frac{1}{200}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{200}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 10e^{-\frac{3}{20}} \approx 8.6071\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{200}} \approx 138.63$ minuts, i no depèn de la sal inicial.