Exercicis de models amb equacions diferencials

Pas 1 — el balanç. El capital creix per dos motius: l'interès, proporcional al que ja hi ha, i l'aportació, constant.

$K' = \frac{3}{100}K$

Pas 2 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-\frac{3}{100}t}$, i surt

$K(t) = 1000e^{\frac{3}{100}t}$

Pas 3 — avaluar a $T = 10$.

$K(10) \approx 1349.8588\ \text{€}$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu: serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.

Pas 1 — discriminant.

$c^{2} - 4mk = 4^{2} - 4\cdot1\cdot4 = 0$

Pas 2 — llegir-lo. Negatiu: arrels complexes, el sistema oscil·la amb amplitud decreixent. Zero: arrel doble, torna a l'equilibri sense oscil·lar i el més ràpid possible. Positiu: dues arrels reals, torna sense oscil·lar però més lentament.

Aquí val $0$, o sigui Crític.

El detall contraintuïtiu: passat el punt crític, posar més amortiment fa que el sistema torni a l'equilibri més lentament, no més ràpid. Per això els amortidors es dissenyen a prop del cas crític.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 2\cdot\frac{M}{100} = -\frac{1}{50}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{50}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 20e^{-\frac{1}{5}} \approx 16.3746\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{50}} \approx 34.66$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Truc que estalvia tot el càlcul. A llarg termini el dipòsit arriba a l'equilibri, o sigui $M' = 0$. Amb cabal $q$,

$0 = q\cdot2 - q\cdot\frac{M}{100} \quad\Longrightarrow\quad M = 100\cdot2 = 200.0000\ \text{kg}$

El cabal se simplifica: no afecta el valor final, només la velocitat amb què s'hi arriba.

Interpretació. Té tot el sentit: al final el dipòsit acaba tenint exactament la concentració del que hi entra, i la sal total és el volum per aquesta concentració. Fer aquesta comprovació abans o després de resoldre és el millor control de qualitat d'un problema de mescles.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{20}(T - 20)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 20$, aleshores $u' = -\frac{1}{20}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 20 + (90 - 20)e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(10) = 20 + 70\,e^{-\frac{1}{2}} \approx 62.4571\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $20$ i $90$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — la constant. De la condició inicial surt

$A = \frac{K}{N_0} - 1 = \frac{100}{50} - 1 = 1$

Pas 2 — la fórmula.

$N(t) = \frac{100}{1 + e^{-\frac{1}{2}t}}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$N(1) \approx 62.2459$

Lectura del model. Els equilibris són $0$ (inestable) i $100$ (atractor): tota població positiva acaba tendint a $100$. I el creixement absolut és màxim a $N = K/2 = 50$, que no s'ha de confondre amb el creixement per capita, que decreix sempre.

Pas 1 — el balanç. El capital creix per dos motius: l'interès, proporcional al que ja hi ha, i l'aportació, constant.

$K' = \frac{3}{100}K + 100$

Pas 2 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-\frac{3}{100}t}$, i surt

$K(t) = 1000e^{\frac{3}{100}t} + \frac{100}{\frac{3}{100}}\left(e^{\frac{3}{100}t} - 1\right)$

Pas 3 — avaluar a $T = 5$.

$K(5) \approx 1701.2817\ \text{€}$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu: serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.

Pas 1 — discriminant.

$c^{2} - 4mk = 10^{2} - 4\cdot1\cdot4 = 84$

Pas 2 — llegir-lo. Negatiu: arrels complexes, el sistema oscil·la amb amplitud decreixent. Zero: arrel doble, torna a l'equilibri sense oscil·lar i el més ràpid possible. Positiu: dues arrels reals, torna sense oscil·lar però més lentament.

Aquí val $84$, o sigui Sobreamortit (no oscil·la).

El detall contraintuïtiu: passat el punt crític, posar més amortiment fa que el sistema torni a l'equilibri més lentament, no més ràpid. Per això els amortidors es dissenyen a prop del cas crític.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 2\cdot\frac{M}{100} = -\frac{1}{50}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{50}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 20e^{-\frac{3}{5}} \approx 10.9762\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{50}} \approx 34.66$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Truc que estalvia tot el càlcul. A llarg termini el dipòsit arriba a l'equilibri, o sigui $M' = 0$. Amb cabal $q$,

$0 = q\cdot\frac{1}{2} - q\cdot\frac{M}{200} \quad\Longrightarrow\quad M = 200\cdot\frac{1}{2} = 100.0000\ \text{kg}$

El cabal se simplifica: no afecta el valor final, només la velocitat amb què s'hi arriba.

Interpretació. Té tot el sentit: al final el dipòsit acaba tenint exactament la concentració del que hi entra, i la sal total és el volum per aquesta concentració. Fer aquesta comprovació abans o després de resoldre és el millor control de qualitat d'un problema de mescles.