Exercicis d'àrees, volums i integrals dobles

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 3 - 2 x \quad\Longrightarrow\quad x = -3 \text{ i } x = 1$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-3}^{1} \left[(3 - 2 x) - (x^{2})\right] dx = \frac{32}{3} \approx 10.6667$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $2 x \left(x - 4\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 4$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{4} (2 x^{2} - 8 x)\,dx = - \frac{64}{3}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{64}{3} \approx 21.3333$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(2) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2.6667$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(2 x\right)^2 = 4 x^{2}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $1$:

$\int_0^{1} 4 x^{2}\,dx = \frac{4}{3}$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = \frac{4 \pi}{3} \approx 4.1888$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \text{ i } x = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}}^{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}} \left[(x + 2) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{3}}{3} + \frac{2 \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{2}}{2} + \frac{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{2}}{2} + \sqrt{17} \approx 2.9205$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $3 x \left(x - 1\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 1$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{1} (3 x^{2} - 3 x)\,dx = - \frac{1}{2}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(2 x\right)^2 = 4 x^{2}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $2$:

$\int_0^{2} 4 x^{2}\,dx = \frac{32}{3}$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = \frac{32 \pi}{3} \approx 33.5103$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 2 x + 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} \text{ i } x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}}^{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}} \left[(2 x + 3) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{3}}{3} - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{3}}{3} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2} + 3 \sqrt{7} \approx 6.1734$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $3 x \left(x - 2\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 2$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{2} (3 x^{2} - 6 x)\,dx = -4$

4 — Valor absolut:

$A = 4$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.