Simulacre d'examen d'àrees, volums i integrals dobles

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(x\right)^2 = x^{2}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $1$:

$\int_0^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 3 x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \text{ i } x = 4$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-1}^{4} \left[(3 x + 4) - (x^{2})\right] dx = \frac{125}{6} \approx 20.8333$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(x^{2}\right)^2 = x^{4}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $2$:

$\int_0^{2} x^{4}\,dx = \frac{32}{5}$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = \frac{32 \pi}{5} \approx 20.1062$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 3 - 2 x \quad\Longrightarrow\quad x = -3 \text{ i } x = 1$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-3}^{1} \left[(3 - 2 x) - (x^{2})\right] dx = \frac{32}{3} \approx 10.6667$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(2 x\right)^2 = 4 x^{2}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $3$:

$\int_0^{3} 4 x^{2}\,dx = 36$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = 36 \pi \approx 113.0973$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 5 x + 6 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4} \text{ i } x = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4}}^{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}} \left[(5 x + 6) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{5 \left(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{2}}{2} + \frac{2 \left(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{3}}{3} + 3 \sqrt{73} + \frac{5 \left(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{2}}{2} \approx 25.9880$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(3 x\right)^2 = 9 x^{2}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $2$:

$\int_0^{2} 9 x^{2}\,dx = 24$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = 24 \pi \approx 75.3982$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(4 x\right)^2 = 16 x^{2}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $1$:

$\int_0^{1} 16 x^{2}\,dx = \frac{16}{3}$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = \frac{16 \pi}{3} \approx 16.7552$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{x^{2}}{2}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(2) - F(0) = 2 - 0 = 2$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = x^{2}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(4) - F(1) = 16 - 1 = 15$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = x^{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(2) - F(1) = 8 - 1 = 7$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = x^{4}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(4) - F(0) = 256 - 0 = 256$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.