Exercicis d'àrees, volums i integrals dobles

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = x^{2}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(5) - F(1) = 25 - 1 = 24$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

En girar la corba al voltant de l'eix, cada tall perpendicular és un cercle de radi $y = f(x)$ i àrea $\pi y^2$. Sumant tots els cercles surt la fórmula:

$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$

Pas 1 — elevar al quadrat:

$\left(4 x^{2}\right)^2 = 16 x^{4}$

Pas 2 — integrar entre $0$ i $4$:

$\int_0^{4} 16 x^{4}\,dx = \frac{16384}{5}$

Pas 3 — multiplicar per $\pi$:

$V = \frac{16384 \pi}{5} \approx 10294.3708$

Els dos errors que fan perdre el problema: oblidar el quadrat i oblidar el $\pi$.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(2) - F(0) = \frac{16}{3} - 0 = \frac{16}{3} \approx 5.3333$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(4) - F(0) = \frac{128}{3} - 0 = \frac{128}{3} \approx 42.6667$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(5) - F(0) = \frac{250}{3} - 0 = \frac{250}{3} \approx 83.3333$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(2) - F(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(3) - F(1) = 18 - \frac{2}{3} = \frac{52}{3} \approx 17.3333$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(4) - F(1) = \frac{128}{3} - \frac{2}{3} = 42$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.

Quan la funció és positiva a tot l'interval, l'àrea és directament la integral definida.

Pas 1 — la primitiva:

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — Barrow:

$A = F(5) - F(1) = \frac{250}{3} - \frac{2}{3} = \frac{248}{3} \approx 82.6667$

Molt important: si la funció fos negativa en algun tros, la integral hi donaria negatiu i es menjaria part de l'àrea. En aquest cas s'han de buscar els punts de tall amb l'eix, partir la integral i posar valor absolut a cada tros.