Exercicis de variables aleatòries i distribucions

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{12 - 3} = \frac{1}{9}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{21}{4}$ a $12$, de longitud $\frac{27}{4}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{21}{4}) = \frac{\frac{27}{4}}{9} = \frac{3}{4} \approx 0.7500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $1$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 1) = e^{-\frac{1}{3}} \approx 0.7165$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 3$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $1$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{12 - 3} = \frac{1}{9}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{15}{2}$ a $12$, de longitud $\frac{9}{2}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{15}{2}) = \frac{\frac{9}{2}}{9} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $2$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 2) = e^{-\frac{2}{3}} \approx 0.5134$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 3$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $2$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{12 - 3} = \frac{1}{9}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{39}{4}$ a $12$, de longitud $\frac{9}{4}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{39}{4}) = \frac{\frac{9}{4}}{9} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $3$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 3) = e^{-1} \approx 0.3679$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 3$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $3$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{12 - 3} = \frac{1}{9}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{24}{5}$ a $12$, de longitud $\frac{36}{5}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{24}{5}) = \frac{\frac{36}{5}}{9} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $4$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 4) = e^{-\frac{4}{3}} \approx 0.2636$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 3$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $4$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{20 - 0} = \frac{1}{20}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $5$ a $20$, de longitud $15$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > 5) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \approx 0.7500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $1$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 1) = e^{-\frac{3}{2}} \approx 0.2231$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = \frac{2}{3}$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $1$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.