Exercicis de variables aleatòries i distribucions

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{13}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{13}\,dx = \left[\frac{x^{14}}{14}\right]_0^{1} = \frac{1}{14}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{14} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 14$

Fixa't que la densitat val $14$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — la definició.

$\mathbb{E}X = \int_0^{1} x\cdot 14x^{13}\,dx = 14\int_0^{1} x^{14}\,dx$

Pas 2 — integrar.

$= \frac{14}{15} = \frac{14}{15} \approx 0.9333$

Comprovació de sentit comú. Com que la densitat creix amb $x$, la massa de probabilitat s'acumula a la dreta i l'esperança ha de sortir més gran que $0{,}5$. Efectivament, $0.9333 > 0{,}5$. Com més gran és l'exponent, més s'acosta l'esperança a $1$.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{5 - 0} = \frac{1}{5}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{5}{4}$ a $5$, de longitud $\frac{15}{4}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{5}{4}) = \frac{\frac{15}{4}}{5} = \frac{3}{4} \approx 0.7500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $1$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 1) = e^{-\frac{1}{5}} \approx 0.8187$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 5$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $1$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{14}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{14}\,dx = \left[\frac{x^{15}}{15}\right]_0^{1} = \frac{1}{15}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{15} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 15$

Fixa't que la densitat val $15$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — la definició.

$\mathbb{E}X = \int_0^{1} x\cdot 15x^{14}\,dx = 15\int_0^{1} x^{15}\,dx$

Pas 2 — integrar.

$= \frac{15}{16} = \frac{15}{16} \approx 0.9375$

Comprovació de sentit comú. Com que la densitat creix amb $x$, la massa de probabilitat s'acumula a la dreta i l'esperança ha de sortir més gran que $0{,}5$. Efectivament, $0.9375 > 0{,}5$. Com més gran és l'exponent, més s'acosta l'esperança a $1$.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{5 - 0} = \frac{1}{5}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{5}{2}$ a $5$, de longitud $\frac{5}{2}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2}}{5} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $2$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 2) = e^{-\frac{2}{5}} \approx 0.6703$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 5$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $2$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{5 - 0} = \frac{1}{5}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{15}{4}$ a $5$, de longitud $\frac{5}{4}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{15}{4}) = \frac{\frac{5}{4}}{5} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $3$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 3) = e^{-\frac{3}{5}} \approx 0.5488$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 5$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $3$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.