Exercicis de variables aleatòries i distribucions

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{5 - 0} = \frac{1}{5}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $1$ a $5$, de longitud $4$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > 1) = \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $4$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 4) = e^{-\frac{4}{5}} \approx 0.4493$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = 5$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $4$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{7 - 1} = \frac{1}{6}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{5}{2}$ a $7$, de longitud $\frac{9}{2}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{5}{2}) = \frac{\frac{9}{2}}{6} = \frac{3}{4} \approx 0.7500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $1$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 1) = e^{-3} \approx 0.0498$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = \frac{1}{3}$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $1$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{7 - 1} = \frac{1}{6}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $4$ a $7$, de longitud $3$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > 4) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $2$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 2) = e^{-6} \approx 0.0025$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = \frac{1}{3}$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $2$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{7 - 1} = \frac{1}{6}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{11}{2}$ a $7$, de longitud $\frac{3}{2}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{11}{2}) = \frac{\frac{3}{2}}{6} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $3$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 3) = e^{-9} \approx 0.0001$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = \frac{1}{3}$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $3$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{7 - 1} = \frac{1}{6}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{11}{5}$ a $7$, de longitud $\frac{24}{5}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{11}{5}) = \frac{\frac{24}{5}}{6} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $4$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 4) = e^{-12} \approx 6.1442 \cdot 10^{-6}$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = \frac{1}{3}$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $4$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.