Simulacre d'examen de variables aleatòries i distribucions

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{1}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{1}\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_0^{1} = \frac{1}{2}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 2$

Fixa't que la densitat val $2$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — traduir la desigualtat. Com que $X$ és positiva dins de $(0,1)$, l'arrel és creixent i

$\{Y \leq \frac{1}{2}\} = \{X^{2} \leq \frac{1}{2}\} = \{X \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\}$

Pas 2 — aplicar la uniforme. Per a una uniforme a $(0,1)$, la funció de distribució és la identitat:

$\mathbb{P}(Y \leq \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$

El mètode general. Sempre que et demanin la llei d'una funció d'una variable aleatòria, comença escrivint la funció de distribució i tradueix la desigualtat. La fórmula amb el jacobià només val quan la transformació és monòtona; aquest mètode funciona sempre.

Derivant això s'obté la densitat de $Y$, que és $1/(2\sqrt{y})$: no acotada a prop de zero, cosa que és perfectament legítima.

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{4}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_0^{1} = \frac{1}{5}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{5} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 5$

Fixa't que la densitat val $5$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — traduir la desigualtat. Com que $X$ és positiva dins de $(0,1)$, l'arrel és creixent i

$\{Y \leq \frac{9}{25}\} = \{X^{2} \leq \frac{9}{25}\} = \{X \leq \frac{3}{5}\}$

Pas 2 — aplicar la uniforme. Per a una uniforme a $(0,1)$, la funció de distribució és la identitat:

$\mathbb{P}(Y \leq \frac{9}{25}) = \frac{3}{5} \approx 0.6000$

El mètode general. Sempre que et demanin la llei d'una funció d'una variable aleatòria, comença escrivint la funció de distribució i tradueix la desigualtat. La fórmula amb el jacobià només val quan la transformació és monòtona; aquest mètode funciona sempre.

Derivant això s'obté la densitat de $Y$, que és $1/(2\sqrt{y})$: no acotada a prop de zero, cosa que és perfectament legítima.

Pas 1 — traduir la desigualtat. Com que $X$ és positiva dins de $(0,1)$, l'arrel és creixent i

$\{Y \leq \frac{1}{9}\} = \{X^{2} \leq \frac{1}{9}\} = \{X \leq \frac{1}{3}\}$

Pas 2 — aplicar la uniforme. Per a una uniforme a $(0,1)$, la funció de distribució és la identitat:

$\mathbb{P}(Y \leq \frac{1}{9}) = \frac{1}{3} \approx 0.3333$

El mètode general. Sempre que et demanin la llei d'una funció d'una variable aleatòria, comença escrivint la funció de distribució i tradueix la desigualtat. La fórmula amb el jacobià només val quan la transformació és monòtona; aquest mètode funciona sempre.

Derivant això s'obté la densitat de $Y$, que és $1/(2\sqrt{y})$: no acotada a prop de zero, cosa que és perfectament legítima.

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{9}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{9}\,dx = \left[\frac{x^{10}}{10}\right]_0^{1} = \frac{1}{10}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{10} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 10$

Fixa't que la densitat val $10$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — traduir la desigualtat. Com que $X$ és positiva dins de $(0,1)$, l'arrel és creixent i

$\{Y \leq \frac{16}{25}\} = \{X^{2} \leq \frac{16}{25}\} = \{X \leq \frac{4}{5}\}$

Pas 2 — aplicar la uniforme. Per a una uniforme a $(0,1)$, la funció de distribució és la identitat:

$\mathbb{P}(Y \leq \frac{16}{25}) = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

El mètode general. Sempre que et demanin la llei d'una funció d'una variable aleatòria, comença escrivint la funció de distribució i tradueix la desigualtat. La fórmula amb el jacobià només val quan la transformació és monòtona; aquest mètode funciona sempre.

Derivant això s'obté la densitat de $Y$, que és $1/(2\sqrt{y})$: no acotada a prop de zero, cosa que és perfectament legítima.

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{12}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{12}\,dx = \left[\frac{x^{13}}{13}\right]_0^{1} = \frac{1}{13}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{13} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 13$

Fixa't que la densitat val $13$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — la definició.

$\mathbb{E}X = \int_0^{1} x\cdot 2x^{1}\,dx = 2\int_0^{1} x^{2}\,dx$

Pas 2 — integrar.

$= \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

Comprovació de sentit comú. Com que la densitat creix amb $x$, la massa de probabilitat s'acumula a la dreta i l'esperança ha de sortir més gran que $0{,}5$. Efectivament, $0.6667 > 0{,}5$. Com més gran és l'exponent, més s'acosta l'esperança a $1$.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{8 - 2} = \frac{1}{6}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{13}{2}$ a $8$, de longitud $\frac{3}{2}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{13}{2}) = \frac{\frac{3}{2}}{6} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

Pas 1 — la definició.

$\mathbb{E}X = \int_0^{1} x\cdot 15x^{14}\,dx = 15\int_0^{1} x^{15}\,dx$

Pas 2 — integrar.

$= \frac{15}{16} = \frac{15}{16} \approx 0.9375$

Comprovació de sentit comú. Com que la densitat creix amb $x$, la massa de probabilitat s'acumula a la dreta i l'esperança ha de sortir més gran que $0{,}5$. Efectivament, $0.9375 > 0{,}5$. Com més gran és l'exponent, més s'acosta l'esperança a $1$.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{12 - 3} = \frac{1}{9}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{39}{4}$ a $12$, de longitud $\frac{9}{4}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{39}{4}) = \frac{\frac{9}{4}}{9} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.