Exercicis de variables aleatòries i distribucions

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{11}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{11}\,dx = \left[\frac{x^{12}}{12}\right]_0^{1} = \frac{1}{12}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{12} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 12$

Fixa't que la densitat val $12$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — la definició.

$\mathbb{E}X = \int_0^{1} x\cdot 12x^{11}\,dx = 12\int_0^{1} x^{12}\,dx$

Pas 2 — integrar.

$= \frac{12}{13} = \frac{12}{13} \approx 0.9231$

Comprovació de sentit comú. Com que la densitat creix amb $x$, la massa de probabilitat s'acumula a la dreta i l'esperança ha de sortir més gran que $0{,}5$. Efectivament, $0.9231 > 0{,}5$. Com més gran és l'exponent, més s'acosta l'esperança a $1$.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{4 - (-1)} = \frac{1}{5}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $\frac{11}{4}$ a $4$, de longitud $\frac{5}{4}$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > \frac{11}{4}) = \frac{\frac{5}{4}}{5} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $3$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 3) = e^{-6} \approx 0.0025$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = \frac{1}{2}$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $3$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — traduir la desigualtat. Com que $X$ és positiva dins de $(0,1)$, l'arrel és creixent i

$\{Y \leq \frac{1}{100}\} = \{X^{2} \leq \frac{1}{100}\} = \{X \leq \frac{1}{10}\}$

Pas 2 — aplicar la uniforme. Per a una uniforme a $(0,1)$, la funció de distribució és la identitat:

$\mathbb{P}(Y \leq \frac{1}{100}) = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

El mètode general. Sempre que et demanin la llei d'una funció d'una variable aleatòria, comença escrivint la funció de distribució i tradueix la desigualtat. La fórmula amb el jacobià només val quan la transformació és monòtona; aquest mètode funciona sempre.

Derivant això s'obté la densitat de $Y$, que és $1/(2\sqrt{y})$: no acotada a prop de zero, cosa que és perfectament legítima.

Pas 1 — la condició. Perquè $f$ sigui densitat cal que integri $1$:

$\int_0^{1} c\,x^{12}\,dx = 1$

Pas 2 — la integral. Puja l'exponent i divideix-lo:

$\int_0^{1} x^{12}\,dx = \left[\frac{x^{13}}{13}\right]_0^{1} = \frac{1}{13}$

Pas 3 — aïllar.

$\frac{c}{13} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 13$

Fixa't que la densitat val $13$ a prop d'$x = 1$: una densitat pot ser més gran que 1 sense cap problema. El que ha de valer $1$ és la integral, no els valors.

Pas 1 — la definició.

$\mathbb{E}X = \int_0^{1} x\cdot 13x^{12}\,dx = 13\int_0^{1} x^{13}\,dx$

Pas 2 — integrar.

$= \frac{13}{14} = \frac{13}{14} \approx 0.9286$

Comprovació de sentit comú. Com que la densitat creix amb $x$, la massa de probabilitat s'acumula a la dreta i l'esperança ha de sortir més gran que $0{,}5$. Efectivament, $0.9286 > 0{,}5$. Com més gran és l'exponent, més s'acosta l'esperança a $1$.

Pas 1 — la densitat. És constant a tot l'interval:

$f(x) = \frac{1}{4 - (-1)} = \frac{1}{5}$

Pas 2 — el tram que ens interessa. Va de $0$ a $4$, de longitud $4$.

Pas 3 — dividir per la longitud total.

$\mathbb{P}(X > 0) = \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

Amb una uniforme no cal integrar mai: totes les probabilitats són quocients de longituds. És l'únic cas en què la intuïció geomètrica funciona directament.

La fórmula. Integrant la densitat des de $4$ fins a l'infinit,

$\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}$

Substituint.

$\mathbb{P}(X > 4) = e^{-8} \approx 0.0003$

Dues comprovacions que val la pena fer. L'esperança és $1/\lambda = \frac{1}{2}$; si el temps que et demanen és més gran que l'esperança, la probabilitat ha de sortir per sota de $e^{-1} \approx 0{,}368$. I recorda la manca de memòria: la probabilitat d'esperar $4$ unitats més, sabent que ja n'has esperades unes quantes, torna a ser aquest mateix número.

Pas 1 — traduir la desigualtat. Com que $X$ és positiva dins de $(0,1)$, l'arrel és creixent i

$\{Y \leq \frac{1}{25}\} = \{X^{2} \leq \frac{1}{25}\} = \{X \leq \frac{1}{5}\}$

Pas 2 — aplicar la uniforme. Per a una uniforme a $(0,1)$, la funció de distribució és la identitat:

$\mathbb{P}(Y \leq \frac{1}{25}) = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

El mètode general. Sempre que et demanin la llei d'una funció d'una variable aleatòria, comença escrivint la funció de distribució i tradueix la desigualtat. La fórmula amb el jacobià només val quan la transformació és monòtona; aquest mètode funciona sempre.

Derivant això s'obté la densitat de $Y$, que és $1/(2\sqrt{y})$: no acotada a prop de zero, cosa que és perfectament legítima.