Exercicis de distribucions habituals

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 2) = \binom{5}{2}\,\frac{1}{5}^{2}\,\frac{4}{5}^{3}$

El combinatori $10$ compta de quantes maneres es poden repartir els $2$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.2048$

De referència, l'esperança és $np = 1$: si $2$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 2) = e^{-3}\,\frac{3^{2}}{2!} \approx 0.2240$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $3$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($40$) no és molt més gran que la mostra ($6$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 1) = \frac{\binom{12}{1}\binom{28}{5}}{\binom{40}{6}} = \frac{12\cdot98280}{3838380} \approx 0.3073$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 12/40 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.3025$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{9 - 0}{6} = \frac{3}{2}$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $\frac{3}{2}$ és aproximadament $0.0668$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 3) = \binom{5}{3}\,\frac{1}{5}^{3}\,\frac{4}{5}^{2}$

El combinatori $10$ compta de quantes maneres es poden repartir els $3$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.0512$

De referència, l'esperança és $np = 1$: si $3$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 3) = e^{-3}\,\frac{3^{3}}{3!} \approx 0.2240$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $3$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($40$) no és molt més gran que la mostra ($6$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 2) = \frac{\binom{12}{2}\binom{28}{4}}{\binom{40}{6}} = \frac{66\cdot20475}{3838380} \approx 0.3521$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 12/40 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.3241$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{12 - 0}{6} = 2$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $2$ és aproximadament $0.0228$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 1) = \binom{8}{1}\,\frac{1}{2}^{1}\,\frac{1}{2}^{7}$

El combinatori $8$ compta de quantes maneres es poden repartir els $1$ èxits entre els $8$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.0312$

De referència, l'esperança és $np = 4$: si $1$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 0) = e^{-4}\,\frac{4^{0}}{0!} \approx 0.0183$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $4$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.