Exercicis de distribucions habituals

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 3) = \binom{5}{3}\,\frac{1}{4}^{3}\,\frac{3}{4}^{2}$

El combinatori $10$ compta de quantes maneres es poden repartir els $3$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.0879$

De referència, l'esperança és $np = \frac{5}{4}$: si $3$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 1) = e^{-2}\,\frac{2^{1}}{1!} \approx 0.2707$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $2$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($20$) no és molt més gran que la mostra ($4$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 2) = \frac{\binom{6}{2}\binom{14}{2}}{\binom{20}{4}} = \frac{15\cdot91}{4845} \approx 0.2817$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 6/20 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.2646$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{4 - 0}{2} = 2$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $2$ és aproximadament $0.0228$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 1) = \binom{5}{1}\,\frac{3}{10}^{1}\,\frac{7}{10}^{4}$

El combinatori $5$ compta de quantes maneres es poden repartir els $1$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.3602$

De referència, l'esperança és $np = \frac{3}{2}$: si $1$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 2) = e^{-2}\,\frac{2^{2}}{2!} \approx 0.2707$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $2$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($30$) no és molt més gran que la mostra ($5$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 0) = \frac{\binom{10}{0}\binom{20}{5}}{\binom{30}{5}} = \frac{1\cdot15504}{142506} \approx 0.1088$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 10/30 = \frac{1}{3}$, una binomial donaria $0.1317$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{5 - 0}{5} = 1$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $1$ és aproximadament $0.1587$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 2) = \binom{5}{2}\,\frac{3}{10}^{2}\,\frac{7}{10}^{3}$

El combinatori $10$ compta de quantes maneres es poden repartir els $2$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.3087$

De referència, l'esperança és $np = \frac{3}{2}$: si $2$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 3) = e^{-2}\,\frac{2^{3}}{3!} \approx 0.1804$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $2$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.