Exercicis de distribucions habituals

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($50$) no és molt més gran que la mostra ($5$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 2) = \frac{\binom{8}{2}\binom{42}{3}}{\binom{50}{5}} = \frac{28\cdot11480}{2118760} \approx 0.1517$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 8/50 = \frac{4}{25}$, una binomial donaria $0.1517$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{2 - 0}{1} = 2$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $2$ és aproximadament $0.0228$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 1) = \binom{5}{1}\,\frac{1}{4}^{1}\,\frac{3}{4}^{4}$

El combinatori $5$ compta de quantes maneres es poden repartir els $1$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.3955$

De referència, l'esperança és $np = \frac{5}{4}$: si $1$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 3) = e^{-1}\,\frac{1^{3}}{3!} \approx 0.0613$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $1$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($20$) no és molt més gran que la mostra ($4$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 0) = \frac{\binom{6}{0}\binom{14}{4}}{\binom{20}{4}} = \frac{1\cdot1001}{4845} \approx 0.2066$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 6/20 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.2401$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{2 - 0}{2} = 1$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $1$ és aproximadament $0.1587$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 2) = \binom{5}{2}\,\frac{1}{4}^{2}\,\frac{3}{4}^{3}$

El combinatori $10$ compta de quantes maneres es poden repartir els $2$ èxits entre els $5$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.2637$

De referència, l'esperança és $np = \frac{5}{4}$: si $2$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

La fórmula.

$\mathbb{P}(X = 0) = e^{-2}\,\frac{2^{0}}{0!} \approx 0.1353$

La propietat que has de recordar. En una Poisson, la mitjana i la variància són iguals, totes dues $2$. Si en unes dades reals la variància és clarament més gran que la mitjana (sobredispersió), el model de Poisson no és l'adequat.

Quan aplicar-la. Recomptes d'esdeveniments que passen independentment i a taxa constant. No tot recompte és Poisson: si els esdeveniments s'agrupen o s'eviten entre ells, no ho és.

Pas 1 — triar el model. No hi ha reemplaçament i la població ($20$) no és molt més gran que la mostra ($4$): hipergeomètrica.

Pas 2 — comptar.

$\mathbb{P}(X = 1) = \frac{\binom{6}{1}\binom{14}{3}}{\binom{20}{4}} = \frac{6\cdot364}{4845} \approx 0.4508$

Comparació amb la binomial. Amb $p = 6/20 = \frac{3}{10}$, una binomial donaria $0.4116$. La diferència ve del factor de correcció per població finita: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Com més petita és la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{3 - 0}{2} = \frac{3}{2}$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $\frac{3}{2}$ és aproximadament $0.0668$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.